15.2. Собственные незатухающие колебания

Для возбуждения собственных колебаний сообщим сосредоточенной массе некоторую скорость движения или отклоним упругую систему (балку) из положения статического равновесия некоторой нагрузкой, которая затем снимается, и колебания происходят за счет сообщенной системе энергии, непрерывно переходящей из потенциальной в кинетическую и обратно.

Уравнение перемещений груза (15.1) будет иметь вид

или

, (15.2)

где обозначено .

Решение однородного уравнения, полученного из (15.2) при g=0, имеет вид

(15.3),

или

. (15.4)

Приравнивая (15.3) и (15.4), получим , откуда находим, что , . Отсюда получаем формулы перехода решения (15.3) в (15.4) и наоборот:

, . (15.5)

Частное решение уравнения (15.2) ищем в виде , подставляя которое в (15.2), получим , т.е., ,

где - статический прогиб балки m в месте приложения груза.

Тогда полное перемещение массы

. (15.6)

Отсюда следует, что колебания происходят относительно положения статического равновесия. Значит, при изучении колебаний статическую нагрузку можно учитывать отдельно от динамической.

Выразим амплитуду колебаний С и начальную фазу μ через начальные параметры из условий , на основании уравнений:

, , оттуда получим:

, .

Амплитуда – это наибольшее перемещение колеблющейся массы.

Начальной фазой называется безразмерный параметр, определяющий начальное перемещений массы при колебаниях.

Следовательно: амплитуда, т.е. наибольшее перемещение колеблющейся массы:

, (15.7)

а начальная фаза, т.е. безразмерный параметр, определяющий начальное перемещений массы при колебаниях

. (15.8)

Циклическая частота колебаний и период колебаний определяются формулами:

, . (15.9)

Отсюда следует , т.е. циклическая или круговая частота ω представляет количество колебаний за 2π секунд, а период колебаний - это время, через которое параметры колебательного процесса (перемещения, силовые факторы) повторяются. Период и частота связаны обратной зависимостью

.

После определения перемещений y(t) можно найти силу инерции колеблющейся массы , на которую следует рассчитывать заданную систему.

Аналогичные расчетные формулы будут при продольных колебаниях невесомого стержня с площадью поперечного сечения F при наличии сосредоточенной массы М. Обозначив продольные перемещения груза Q=Mg через u(t), получим:

, , . (15.10)

При крутильных колебаниях невесомого вала с диском, момент инерции которого относительно оси вращения задан

, (15.11)

(здесь: Δ – толщина диска, γ – плотность материала, - полярный момент инерции площади поперечного сечения диска) расчетные формулы (15.10) принимают вид:

, , . (15.12)

З десь: φ₀ - начальный угол закручивания вала в месте закрепления диска, θ₀ - начальная угловая скорость вращения вала, - полярный момент инерции площади поперечного сечения вала диаметра d.

Пример 15.1. На невесомом канате со скоростью υ опускается груз Q=Mg, рис. 15.4. Найти расчетное напряжение в канате при внезапном защемлении его верхнего сечения, если длина каната l и его жесткость EF заданы.

Решение. После защемления каната возникают собственные колебания, вызванные воздействием начальной скорости движения массы.

Так как начального перемещения нет u₀=0, то согласно (15.10) амплитуда , начальная фаза μ=0, частота колебаний и уравнение движения груза .

Сила инерции колеблющейся массы .

С учетом статического нагружения расчетное усилие в канате

.

Следовательно, для определения динамического коэффициента k_д нужно вычислить удлинение каната от статического воздействия груза Q.

Расчетное напряжение σ=N/F.

Пример 15.2. Невесомый вал диаметром d и длиною l с диском массой М, диаметром D и толщиною Δ равномерно вращается с угловой скорость и внезапно тормозится на левом торце, рис.15.5. Найти расчетное напряжение.

Р ешение. Так как колебания вызваны угловой скоростью , а не углом закручивания, то согласно (15.12) получаем амплитудный угол закручивания, начальную фазу и частоту собственных крутильных колебаний:

, , ,

где крутильная жесткость вала с полярным моментом инерции площади поперечного сечения , - момент инерции массы диска относительно оси вращения (см. (15.11))

Уравнение угловых колебательных перемещений диска .

Отсюда можно найти крутящий момент сил инерции диска

и напряжение

.

П ример 15.3. На невесомую консоль с сосредоточенной массой М₀ со скоростью v налетает неупругая масса М, вызывая совместные колебания этих масс, рис.15.6. Найти расчетные изгибные напряжения. Геометрические характеристики консоли l, F, W заданы.

Решение. Удар неупругой массы М вызывает собственные колебания воздействием скорости v.

Согласно (15.7) - (15.9) получаем: , μ=0, где начальная скорость совместного движения масс, η – коэффициент передачи энергии.

Уравнение динамических перемещений масс

.

Отсюда можно найти силу инерции движущихся масс

.

Амплитудное значение силы инерции

(15.13) в защемлении создает изгибающий момент с напряжением , - квазистатический прогиб консоли от веса Q.

П ример 15.4. Двухопорная невесомая балка с сосредоточенной массой М посередине пролета отклонена от положения статического равновесия силой Р, которая затем внезапно снимается, рис. 15.7. Вычислить расчетный динамический изгибающий момент.

Решение. В этом примере колебания вызваны отклонением груза из положения статического равновесия, показанного на рис. 15.7 горизонтальной (недеформированной) осью, перемещением y₀ = Δ_1p.. Так как v₀=0, то согласно (15.7) - (15.9) получаем μ=∞ и уравнение движения массы принимает вид . Сила инерции колеблющейся массы

.

Единичные перемещения вычисляем по правилу Верещагина перемножением эпюр, показанных на рис. 15.7:

,

.

Амплитудное значение силы инерции

.

По силе находится расчетный изгибающий момент

0,305Pl.

Обращаем внимание на то, что динамическое воздействие на балку не зависит от массы М, но масса влияет на частоту колебаний.