Модуль 12. Динамическое воздейтвие нагрузки

12.1. Учет сил инерции

В предыдущих разделах рассматривались расчеты элементов конструкций на статическую нагрузку, которая во времени не изменяется или медленно возрастает от нулевого до окончательного значения. Динамической считается нагрузка, изменяющаяся во времени с переменной скоростью или приложенная за короткое время, в том числе и внезапно.

Такая нагрузка вызывает ускорения элементов конструкций, в связи с чем появляются силы инерции, которые по принципу Даламбера нужно учитывать вместе с нагрузкой статической в виде произведения массы М на ускорение а

. (12.1)

Частным случаем такой нагрузки является вес конструкции или сосредоточенных масс, когда произведение массы М на ускорение земного притяжения g считается весовой статической нагрузкой

. (12.2)

Простейшим случаем динамической нагрузки является сила инерции массы, движущейся с постоянным известным ускорением. В этом случае сила инерции направляется в сторону обратную ускорению и задача решается в квазистатике (как бы в статике) с учетом статического загружения и силы инерции.

Простейшим случаем динамического воздействия нагрузки может быть подъем сосредоточенной массы М на невесомом канате с известным ускорением а. Здесь нужно кроме веса груза Q=Mg учитывать силу инерции движущегося вверх груза P_и=Ma и расчетное усилие в канате будет равно N_д=Mg+Ma=Mg(1+a/g)=Qk_д, т.е. расчет можно производить на статическую нагрузку Q с учетом динамического коэффициента k_д=1+a/g. Этот же коэффициент будет учитываться при вычислении напряжений σ_д=σ_стk_д и перемещений , где: l – длина каната с жесткостью EF.

П ример 12.1. Тонкостенное кольцо с известной погонной массой m вращается вокруг вертикальной оси с заданной угловой скоростью θ, рис. 12.1. Найти, расчетные напряжения.

Решение.

Сила инерции элемента кольца ds=rdφ направлена перпендикулярно оси вращения и равна dp=mds·a=mrdφ·θ²rsinφ.

Эта динамическая нагрузка изменяется от нулевого значения на оси вращения до максимального на горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести кольца, но интенсивность сил инерции на вертикальную проекцию элемента dssinφ = =rdφ·sinφ будет постоянной и равной p=mθ²r.

Таким образом, кольцо нужно рассчитывать на равномерно распределенную нагрузку интенсивностью p.

Кольцо представляет трижды cтатически неопределимую систему, но с учетом симметрии конструкции и симметричного изгиба кольца относительно вертикальной и горизонтальной оси, где изгибающие моменты экстремальные, следует, что в диаметральных сечениях поперечные силы равны нулю. С учетом этого, рассматривая в равновесии четверть кольца, находим, что в горизонтальном сечении продольное усилие равно нулю, а в вертикальном N=pr.

Чтобы вычислить изгибающий момент в горизонтальном сечении M₀=X₁ методом сил, основную систему можно принять в виде четверти кольца с защемленем в вертикальном сечении, так как это сечение не поворачивается, а только смещается по вертикали. Для вычисления главного коэффициента канонического уравнения метода сил δ₁₁X₁+Δ_1p=0 положим X₁=1. Тогда . Грузовой коэффициент . Поскольку y=rcosφ, а ds=rdφ, то . Значит, . Изгибающий момент в произвольном сечении , а в вертикальном сечении .

Таким образом, кольцо нужно рассчитывать из условия его прочности в вертикальном сечении, где .