Модуль 13. Расчет тонкостенных оболочек
13.1. Понятие о моментной и безмоментной теории расчета сосудов
Железнодорожные цистерны, резервуары для хранения жидкостей, купола зданий, баки водонапорных башен относятся к элементам строительных конструкций, объединенных понятием – тонкостенные оболочки. Такие конструкции испытывают внутренне давление жидкости, пара или газа. При этом материал конструкций находится в состоянии двухосного растяжения или сжатия. Отличительной особенностью таких конструкций является малая толщина оболочки по сравнению с другими ее размерами - высотой и шириной. Тонкостенные оболочки, как правило, представляют собой тела вращения.
Поверхность оболочек образована вращением некоторой кривой вокруг оси оо (рис. 13.1а). Сечение оболочки плоскостью, проходящей через ось оо, называется меридиональным. Сечение оболочки плоскостью, перпендикулярной оси оо, называется окружным - проекция представляет собой окружность. Поверхность, которая делит толщину стенки оболочки пополам, называется срединной поверхностью.
Осесимметричная нагрузка изменяется только вдоль меридиана и остается постоянной в окружном направлении (рис. 13.1б). В результате действия такой нагрузки элемент срединной поверхности, выделенный двумя окружными и двумя меридиональными сечениями, растягивается в двух взаимно перпендикулярных направлениях и искривляется.
Двухстороннее растяжение элемента приводит к равномерному распределению нормальных напряжений по площади поперечного сечения стенки сосуда. Изменение кривизны бесконечно малого элемента в меридиональном и окружном направлении, приводит к появлению нормальных напряжений, вызванных изгибом, и распределенных по треугольнику (рис. 13.2).
С
ледовательно,
по граням бесконечно малого элемента
действую изгибающие моменты и продольные
силы.
В том случае, когда стенки оболочки тонкие, они работают только на растяжение. Изгибающие моменты равны нулю или совсем отсутствуют. Здесь можно провести аналогию с гибкой тонкой нитью, которая может воспринимать только растягивающие усилия, но не изгибные моменты. Такое напряженное состояние стенок сосуда называют безмоментным, а расчет ведется по безмоментной теории.
13.2. Расчет тонкостенных оболочек по безмоментной теории
Рассмотрим тонкостенную осесимметричную оболочку, испытывающую действие внутреннего давления жидкости или газа (рис. 13.1) Выделим из этой оболочки двумя кольцевыми и двумя меридиональными сечениями бесконечно малый элемент, и рассмотрим его в равновесии (рис.13.3).
Рис. 13.3
Принимая во внимание осевую симметрию оболочки и полярно симметричную нагрузку в меридиональном и кольцевом направлении, можно полагать, что по сечениям отсутствуют деформации сдвига. Следовательно, касательные напряжения по таким сечениям будут равны нулю. По граням рассматриваемого элемента действуют только нормальные напряжения, вызванные двумя растягивающими продольными усилиями в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
На площадках окружных сечений действуют меридиональные напряжения σm, а на меридиональных площадках - окружные напряжения σt.
Меридиональным σm называется такое нормальное напряжение, которое действует в оболочке в меридиональном направлении.
Кольцевым σt называется такое нормальное напряжение, которое действует в оболочке в кольцевом направлении.
Напряжения σm и σt, как сказано выше, распределены по площади сечений равномерно.
Срединная поверхность оболочки является поверхностью двоякой кривизны. Радиус кривизны в меридиональном направлении обозначим через ρm,, а в окружном – ρt. (рис. 13.3). На внутреннюю поверхность оболочки действует распределенная нагрузка, равнодействующая которой равна
dP = p dSm dSt
Равнодействующая нормальных напряжений по меридиональным сечениям
dNt = σm dFt = σm d St δ
Аналогично по кольцевым сечениям
dNm = σt dFm = σt dSm δ
Запишем условие равновесия элемента, спроектировав все силы на ось nn.
Fnn=2 Nt sin dαm/2 + 2 Nm sin dαt/2 – dP = 0
2σm d St δ sin dαm/2 + 2 σt dSm δ sin dαt/2 – p dSm dSt = 0 13.1
Ввиду малости углов и можно записать
sin dαt/2= dαt/2, sin dαm/2 = dαm/2
После преобразований получим
13.2
Это уравнение получено французским астроном и физиком Лапласом в начале XIX века, который решал задачу, связанную с поверхностным натяжением в жидкостях. Аналогичность этих явлений состоит в том, что пленка в капле жидкости, как и стенке оболочки, испытывают растяжение, удерживая в равновесии некоторый объем жидкости. Этим можно объяснить применение в практике строительства каплевидных резервуаров, обладающих рядом преимуществ по сравнению с другими формами оболочек. Однако изготовление каплевидных резервуаров представляет определенные трудности.
Формула (13.2) содержит два неизвестных σm и σt.
Для определения меридионального напряжения σm рассмотрим (рис. 13.1б). Нижняя часть отсеченной оболочки находится в равновесии. Следовательно,
Fоо = σm 2πRδ cosα – pπR2 –– Q = 0 13.3
отсюда
13.4
Здесь:
Q – вес части сосуда и жидкости, расположенных ниже рассматриваемого сечения,
P - давление в жидкости, определяемое по закону Паскаля с учетом избыточного давления по сравнению с атмосферным – q,
γ – плотность жидкости.
p = γh + q
Используя формулы (13.2) и (13.4) можно найти меридиональные и окружные напряжения в оболочке.
Нормальные напряжения σm и σt, действующие по площадкам, на которых отсутствуют касательные напряжения, являются главными. Третье главное напряжения изменяется в пределах: ноль на наружной поверхности оболочки до значения р на внутренней поверхности. В тонкостенных оболочках σm и σt значительно больше р, поэтому значением главного напряжения σ3 пренебрегаем. Следовательно, материал тонкостенной оболочки находится в плоском напряженном состоянии. Давая оценку прочности оболочки, будем пользоваться четвертой теорией прочности
13.5