11.4. Границы применимости формулы Эйлера
Как показано в (11.14) формулу Эйлера можно представить в виде
,
(11.17)
где μl - приведенная длина стержня, Jmin- минимальный момент инерции площади поперечного сечения в системе главных центральных осей.
Приведенная длина стержня - это участок стержня, соответствующий одной полуволне синусоиды, отражающей форму изгиба стержня при потере устойчивости.
Формула
критической силы (11.17) получена на
основании уравнения изогнутой оси
стержня, выведенного из приближенного
дифференциального уравнения, которое
справедливо лишь при упругих деформациях,
когда напряжения не превышают предела
пропорциональности. Следовательно, и
критические напряжения, вычисленные
на основании (11.17)
не должны превышать предела
пропорциональности.
Согласно
(11.17) с учетом радиуса инерции
и обозначения геометрических характеристик
стержня одним параметром в виде гибкости
Гибкость стержня - это параметр стержня прямо пропорциональный приведенной длине и обратно пропорциональный радиусу инерции площади поперечного сечения стержня.
,
(11.18)
Определим критические напряжения
,
(11.19)
Из
ограничения
(11.22 в блоке VI)
с учетом (11.19) находим предельную гибкость
с превышением которой формула Эйлера
может быть применима
.
(11.20)
Н
апример,
для мягкой стали с пределом пропорциональности
σпр=200
МПа предельная гибкость (11.20) составляет
λпр=100,
т.е. при гибкости меньше 100 формула Эйлера
для мягкой стали не применима, она
применима лишь при больших гибкостях
(11.25 в блоке VI).
Для наглядности построим график критических напряжений (11.19) для мягкой стали, рис.11.5.
На этом графике кривая Эйлера показана при гибкости больше 100.
Экспериментально установлено, что короткие стержни с гибкостью λ меньше 30-40 (11.24 в блоке VI) не теряют устойчивости, а разрушаются от потери прочности. Для таких стержней за предельное напряжение нужно принимать предел текучести, что соответствует горизонтальной прямой на графике.
Критическое напряжение при средних гибкостях можно вычислять по формуле Ясинского. Средняя гибкости (для стали 30-70) – это такая гибкость, при которой критическую силу нельзя вычислять по формуле Эйлера. При таких гибкостях нужно пользоваться формулой Ясинского или аналитическими зависимостями критических напряжений от гибкостей.
.
Экспериментальные коэффициента этой формулы можно найти в учебниках по сопротивлению материалов. Но с учетом линейной зависимости для критических напряжений мягкой стали легко получить уравнение прямой среднего участка диаграммы
.
(11.21)
Для высокопрочных сталей прямолинейного участка на диаграмме не наблюдается, поэтому формула критических напряжений для стержней средней гибкости имеет следующий вид
.
(11.22)
Имея график критических напряжений можно установить такой уровень расчетных напряжений, при которых сжатые стержни не будут терять устойчивость.