Модуль 15. Колебания упругих систем

Среди явлений природы, в жизни и технике, часто наблюдаются периодические процессы или движения. В периодическом явлении изменения какой-либо величины повторяются в том же самом виде через определенное время – период. Встречаются процессы не периодические, похожие на периодические, у которых через условный период движения расчетная величина изменяется. Все такие процессы называются колебательными, а периодические колебания – это частный случай колебаний, когда изменения силових факторов или перемещений сечений периодически повторяются.

Ограничимся рассмотрением собственных или свободных колебаний упругих систем которые происходят за счет дополнительных внутренних усилий, вызванных отклонением системы из положения статического равновесия за счет сообщения системе некоторой скорости движения или дополнительного перемещения и последующего снятия дополнительного воздействия и последующим снятием этого отклонения.

Если колебания возбуждаются за счет внешней возмущающей нагрузки, непрерывно воздействующей на систему по определенному закону в течение некоторого времени, то это вынужденные колебания.

П ри этом характер напряженно-деформированного состояния зависит от кинематической характеристики системы, которая оценивается количеством степеней свободы, т.е. количеством независимых геометрических параметров, определяющих положение системы в плоскости (или пространстве). Количество степеней свободы зависит от расчетной схемы рассматриваемой упругой системы и от упрощающих гипотез, положенных в решение задачи.

Так, груз, закрепленный на упругом невесомом стержне (рис. 15.1), имеет три степени свободы, т.е. для определения его положения в плоскости нужно знать две линейные z и y и угловую θ координаты. Однако, при изгибе стержня, когда продольных деформаций (растяжения-сжатия) не будет, останутся две координаты y и θ, т.е. система окажется с двумя степенями свободы. А если груз можно считать точечным, то останется лишь одна координата y и система будет с одной степенью свободы.

Также одна степень свободы будет при продольных или крутильных колебаниях невесомого стержня с одной сосредоточенной массой.

15.1. Колебания систем с одной степенью свободы

В качестве такой системы рассмотрим невесомую консоль с одним (точечным) грузом Q, рис. 15.2. Коэффициент жесткости упругой системы (балки) в точке приложения груза с или коэффициент податливости δ₁₁=1/c заданы.

Коэффициент жесткости упругой системы представляет силу, вызывающую единичное перемещение, что следует из равенства P=cf, а коэффициент податливости упругой системы представляет перемещение, вызванное единичной силой, что следует из равенства f=δ₁₁P.

В положении статического равновесия в балке возникает прогиб f=δ₁₁Q.

Из условия равновесия груза следует, что реакция балки на груз R=Q, т.е. f=δ₁₁R.

Для возбуждения собственных колебаний отклоним балку каким либо воздействием от положения статического равновесия, а затем отпустим. Так как полный прогиб f+y больше статического f, то реакция балки R+P, будет больше силы тяжести Q и груз начнет перемещаться вверх (в сторону восстанавливающей силы P=cy), которая стремится возвратить систему в положение статического равновесия. При достижении этого положения скорость движения становится максимальной и груз по инерции пробегает положение статического равновесия, а восстанавливающая сила Р изменит свое направление, стремясь затормозить движение груза. Груз остановится в верхней точке, когда скорость станет равной нулю, а восстанавливающая сила достигнет максимального значения с направлением вниз. Груз начнет перемещаться вниз, и когда скорость, направленная вниз, достигнет максимального значения, появится восстанавливающая сила другого знака, направленная вверх. Так каждый раз при прохождении положения статического равновесия восстанавливающая сила приобретает знак противоположный скорости, т.е. по направлению скорости движения после прохождения положения статического равновесия можно определить направление восстанавливающей силы, стремящей вернуть систему в положение статического равновесия.

Аналогичные колебания возникают в любой невесомой упругой системе: балках и рамах, стержневых растянуто-сжатых системах (канатах, фермах, пружинах), валах, гибких нитях и др.

Д ля вывода расчетных зависимостей рассмотрим невесомую консоль с одним сосредоточенным грузом Q=Mg, рис. 15.3.

Перемещение груза

, (15.1)

где: Q=Мg – вес груза; - сила инерции колеблющейся массы; - сила сопротивления движению, пропорциональная скорости движения с коэффициентом сопротивления k; q(z, t) - интенсивность возмущающей нагрузки; δ_1z - перемещение в точке приложения массы М от единичной силы, приложенной в сечении z.

Если q(z, t) =0, то возникают собственные затухающие колебания. Если k=0, то будут собственные незатухающие колебания, происходящие в окружающей среде без сопротивления движению и возникающие за счет отклонения упругой системы от положения статического равновесия.