15.7. Колебания систем с двумя степенями свободы

П римером такой системы может быть невесомая балка с двумя сосредоточенными массами М₁ и М₂ , рис. 15.10.

Уравнения перемещений масс имеют вид:

,

.

Здесь δ - единичные перемещения, а Р – силы инерции масс в случае собственных колебаний: и .

Так как при собственных колебаниях уравнения перемещений аналогично (15.6) имеют вид и , то, подставляя силы инерции и в уравнения перемещений, получим систему амплитудных перемещений:

, (15.40)

.

Приравнивая определитель этой системы нулю, получим биквадратное частотное уравнение

.

Корни этого уравнения

(15.41)

определяют две частоты собственных колебаний – меньшую ω₁ и большую ω₂.

Из системы уравнений (15.4) следует, что между амплитудами колебаний существует определенная зависимость

. (15.42)

Частоте ω₁ соответствует коэффициент , а частоте ω₂ – k₂=B₂/A₂. Так можно найти уравнения движения масс и скоростей движения:

,

,

,

. (15.43)

В этой системе четыре неизвестных – две амплитуды и две начальные фазы. Умножая первое и второе уравнения системы (15.43) на k₂ и вычитая из них третье и четвертое уравнения при условии , , , находим амплитуды колебаний и начальные фазы:

,

,

, (15.44)

.

По амплитудам и частотам колебаний можно вычислить силы инерции и выполнить динамический расчет прочности балки.

В частном случае симметричной системы, когда , из (2.3) найдем:

, .

Этим частотам соответствуют коэффициенты k₁=1 и k₂=-1, определяющие две формы колебаний – симметричную с низшей частотой колебаний ω₁ и кососимметричную с частотой ω₂, рис. 15.11:

,

. (15.45)

Дважды дифференцируя уравнения движения (15.45), можно найти ускорения, а затем и силы инерции колеблющихся масс:

,

.

С учетом перемещений (15.45) получаем:

,

.

В случае вынужденных колебаний (без учета сопротивления движению) от заданной гармонической нагрузки и

система амплитудных уравнений (15.40) будет неоднородной:

,

.

Отсюда находим амплитуды вынужденных колебаний:

,

Здесь главный определитель системы

.

15.8. Поперечные колебания систем с распределенными параметрами

С истемами с распределенными параметрами называются системы с бесконечным количеством сосредоточенных масс или системы с массой распределенной по известному закону. Ограничимся рассмотрением систем с равномерно распределенной массой интенсивностью m.

Используем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, рис. 15.12.

и дважды его дифференцируем

. (15.46)

Здесь - интенсивность сил инерции от распределенной массы и возмущающей нагрузки.

Если возмущающей нагрузки нет, когда , то получим дифференциальное уравнение движения сечений балки при собственных колебаниях.

15.9. Собственные колебания весомых балок

Дифференциальное уравнение движения сечений балки имеет вид

. (15.47)

Решение этого уравнения ищем методом Фурье, т.е. функцию двух переменных представляем в виде произведения двух функций , что соответствует стоячим волнам, когда отношение произвольного перемещения в любом сечении балки к перемещению в зафиксированное время будет лишь функцией времени , т.е. .

Подставляем это решение в (15.47)

.

Разделим это равенство на произведение

. (15.47)

В этом отношении левая часть, содержащая лишь функции z, не зависит от времени t и равна правой частит, не зависящей от координаты z. Это значит, что такое отношение функций представляет постоянную величину, которую обозначим ω².

.

Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения.

Решение уравнения уже известно из 15.2, см. (15.4)

.

Решение второго уравнения

, (15.48)

ищем в виде , что приводит к характеристическому уравнению , корни которого , .

Так получаем уравнение изогнутой оси балки

или

. (15.49)

В виду линейности исходного дифференциального уравнения его удовлетворяет бесконечная сумма решений (15.49), т.е.

. (15.50)