12.4. Гармонические и ударные нагрузки при поперечных колебаниях

Так же как при собственных колебаниях распределенные и дискретные массы нужно свести к одной приведённой массе по (12.5), (12.6), а затем рассматривать одномассовую систему.

П ример 12.4. Вычислить приближенное значение динамического коэффициента от гармонической силы (рис.12.5). Исходные данные: m =400 кг/м, М =1500 кг, l=4 м, θ=50 1/с, EJ_x= 3,68·10⁶ 1/c.

Решение. Заменяем заданную балку условно невесомой с одной приведенной массой

.

Единичное перемещение δ₁₁=l³/192EJ_x берем из примера 2 п. 12.3.

Согласно (12.7) приближенное значение частоты первого тона колебаний . При частоте возмущения отношение частот , а коэффициент нарастания колебаний .

Динамическая нагрузка .

Когда возмущающая сила приложена к сосредоточенной массе, динамический коэффициент по прогибу и изгибающему моменту одинаковый и равен .

В точном решении эти коэффициенты отличаются друг от друга на 3,8%.

Пример 12.5. Двухопорная балка l=4 м (двутавр №20 J_x=1840 см⁴, W_x=184 см³, EJ_x=3,6810⁶ Нм²) с погонной массой m=400 кг/м испытывает удар неупругой массы M=ml/3, падающей с высоты h=0,5 см. Вычислить приближенно расчетное напряжение.

Решение.

Заменяем заданную балку невесомой с приведенной массой M_п в точке удара (рис. 12.6а). Задаёмся уравнением изогнутой оси балки в виде: . В точке удара . Приведенная масса

.

Приложив в месте падения массы M единичную силу и построив эпюру изгибающих моментов M₁ (рис.12.6б), по правилу Верещагина найдем перемещение .

Квазистатистическое перемещение от падающей массы

.

Коэффициент передачи энергии .

Динамический коэффициент, на который нужно умножать падающую массу:

.

Изгибающий момент от падающего груза в месте удара

Статический изгибающий момент от равномерно распределенной нагрузки в том же сечении

.

Расчетное напряжение

.

П ример 12.6. Балка, все характеристики которой взяты из предыдущей задачи, загружена тремя массами M=300 кг (рис. 12.7). На левую массу действует возмущающая сила с амплитудным значением и частотой возмущения . Вычислить расчетные напряжения.

Решение.

Приводим сосредоточенные массы по формуле (12.7) в точку приложения первой (левой) массы, приняв :

, .

Приведенная масса

.

При вычислении частоты собственных колебаний используем значение единичного коэффициента , который легко получить по правилу Верещагина или методом начальных параметров.

Частота собственных колебаний

.

Отношение частот , коэффициент нарастания колебаний . Динамическая нагрузка в месте приложения возмущающей силы .

Динамический изгибающий момент

.

Статический изгибающий момент в месте приложения возмущающей силы

.

Расчетное напряжение

.

12.5. Продольные колебания и удар

В приближенных расчётах при продольных колебаниях и ударе распределенная масса стержня также заменяется сосредоточенной, вычисленной по (11.1), (11.2). После этого производится расчет одномассовой системы.

П ример 12.7. Найти приближенно частоту первого тона продольных колебаний весомого стержня (рис. 12.8).

Решение. Заменим распределенную массу m сосредоточенной, приведенной к нижнему концу стержня (рис. 12.9). В качестве приближенного уравнения перемещений сечений стержня примем

.

Приведенная масса будет такой:

.

Так как , то приближённое значение частоты основного тона колебаний:

- это на 3,96% больше точного значения, равного .

П ример 12.8. Горизонтальный призматический стержень с погонной массой m испытывает удар налетающей со скоростью v массы (рис. 12.10). Найти динамические перемещения и напряжения.

Решение.

Заменяем заданный стержень невесомым с приведённой массой (см. пример 7). Коэффициент передачи энергии

.

Динамический коэффициент вычисляется лишь от скорости удара , т.е. без учета единиц в (12.4),

.

Перемещение торца консоли

,

где - скорость волны деформации (для стали с510³ м/с).

Точное значение перемещения, полученное из волновой теории, , что на 14,8% меньше приближённого.

Если на стержне, кроме погонной массы m, будет еще масса на торце консоли, то после приведения массы стержня к торцевому сечению получим коэффициенты передачи энергии: .

В этом случае перемещение практически совпадает с точным.

Напряжение в приближенном расчёте при малых значениях  значительно расходится с точным. Лишь при приближенный расчет дает удовлетворительные результаты.