15.3. Собственные затухающие колебания

В зависимости от формы и размеров колеблющейся массы, от скорости движения и физических свойств окружающей среды может возникать линейное или квадратичное сопротивление движению. Критерием установления качества сопротивления является число Рейнольдса

, (15.14)

где v – скорость движения, d –габаритный размер движущегося объекта, - коэффициент кинематической вязкости окружающей среды (η - коэффициент внутреннего трения, ρ- плотность окружающей среды).

При возникает линейное сопротивление движению, а при проявляется квадратичный закон сопротивления с коэффициентом скоростного напора (С – постоянный коэффициент лобового сопротивления, зависящий от формы движущегося объекта).

В случае сопротивления, пропорционального квадрату скорости, можно использовать квазилинейный коэффициент сопротивления k^*, который находится энергетическим методом, когда работу силы квадратичного сопротивления kv² и квазилинейного k^*v приравнивают за период колебаний в установившемся режиме движения . Из этих условий можно найти

. (15.15)

В связи с этим рассмотрим дифференциальное уравнение движения массы М с линейным сопротивлением движению (15.1)

, т.е.

. (15.16)

Здесь: - частота собственных незатухающих колебаний, - коэффициент затухания колебаний.

Решение дифференциального уравнения (15.16) ищем в виде , что приводит к характеристическому уравнению , корни которого , где

(15.17)

частота собственных затухающих колебаний.

Так находим уравнение движения массы

или

. (15.18)

Здесь - амплитуда собственных затухающих колебаний.

Дифференцируя (15.17), получим скорость движения

.

Из начальных условий , получаем систему уравнений

,

,

позволяющую найти начальную амплитуду С и начальную фазу μ:

, (15.19)

. (15.20)

Так как в инженерных конструкциях чаще всего ε<<ω, то согласно (15.16) φ≈ω, т.е. частота собственных затухающих колебаний практически такая же, как частота собственных незатухающих колебаний. По этой же причине из (15.18), (15.19) получаем (15.12). Из этого следует, что изучение колебаний без учета сопротивления движению является более предпочтительным.

15.4. Вынужденные колебания без учета сопротивления движению

На невесомую упругую систему (балку) действует возмущающая нагрузка , см. рис. 15.1. Уравнение перемещения груза (15.1) принимает вид

.

Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения массы

. (15.21)

Решение однородного уравнения (полученного из (15.21) при ) получено в (15.2).

Частное решение w(t) ищем в форме собственных функций, т.е. в виде аналогичном (15.3)

. (15.22)

Дифференцируем (15.21)

и положим

. (15.23)

С учетом (15.23) дифференцируем (15.22) вторично

и подставляем и в (15.20)

+ .

Отсюда получаем зависимость

. (15.24)

Решая систему уравнений (15.22) и (15.23), получаем:

, .

Отсюда, интегрируя по временной переменной τ, получаем:

, .

Теперь в соответствии с (15.21) находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения (15.20)

= .

Следовательно, с учетом обозначения в (15.20) находим частное решение на любой вид возмущающей нагрузки

. (15.25)

В случае нагрузки, не изменяющейся во времени, т.е. , из (15.25) получаем

. (15.26)

Но так как δ_1z есть перемещение точки приложения массы М, от единичной силы, то интеграл представляет перемещение массы М от статического воздействия заданной нагрузки . Таким образом, уравнение движения груза представляет гармоническую функцию с амплитудой в виде квазистатического прогиба в точке приложения массы

. (15.27)

С учетом статического загружения балки грузом Q с перемещением получаем полное перемещение

. (15.28)

Здесь k_д – динамический коэффициент перемещения.

В случае сосредоточенной силы Р, когда динамический коэффициент

. (15.29)

П ример 15.5. К невесомой консоли с сосредоточенной массой М внезапно прикладывается сила P, рис. 15.8. Найти расчетный изгибающий момент.

Решение. Согласно (15.27) динамическое перемещение массы М .

Единичное перемещение δ_1p можно найти по методу начальных параметров

.

Сила инерции колеблющейся массы .

Суммарный изгибающий момент от груза Q, приложенной силы Р и силы инерции P_и

.

В частном случае, когда a=l, динамическая нагрузка

. (15.30)