Решение

С ила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом q₁ зависит от линейной плотности заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить . При вычислении силы F следует иметь ввиду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя.

В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим из стержня (рис. 3.3) малый отрезок с зарядом . Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

.

Интегрируя это выражение в пределах от а до , получаем

.

Откуда .

Проверим, дает ли расчетная формула единицу линейной плотности электрического заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы:

..

Найденная единица является единицей линейной плотности заряда.

Произведем вычисления:

.

Ответ: Кл/м.

Пример 3. Конденсатор емкость C₁ = 5 мкФ был заряжен до разности потенциалов U = 40 Β. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим не заряженным конденсатором емкостью C₂ = 5 мкФ. Какая энергия израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение

Энергия, израсходованная на образование искры:

(1)

где W₁ – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W₂ – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора, определяется по формуле:

, (2)

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W₁ и W₂ по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

где U₂ – разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним ( ), выразим разность потенциалов U₂ следующим образом

. (4)

Подставив выражение U₂ в (3), найдем

,

или .

Проверим единицы измерения: .

Произведем вычисления: Дж.

Пример 4. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 c по линейному закону от I₀ = 0 до I = 6 А (рис. 3.4). Определить теплоту , выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и – за вторую, а также найти отношение .

Решение

Закон Джоуля-Ленца в виде справедлив для постоянного тока ( ). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде

. (1)

Здесь сила тока І является некоторой функции времени. В данном случае

, (2)

где k – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:

(А/с).

С учетом (2) формула (1) примет вид

. (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t₁ до t₂:

.

П роверим единицы измерения:

.

Произведем вычисления:

Дж, Дж.

Следовательно, ,

т.е. за вторую секунду выделится теплоты в семь раз больше, чем за первую.

Пример 5. Элементы цепи, схема которой изображена на рис. 3.5, имеют следующие значения:  = 1.50 В,  = 1.60 В, R₁ = 1.00 кОм, R₂ = 2.00 кОм. Определить показания вольтметра, если его сопротивление R_V = 2.00 кОм. Сопротивлением источников напряжения и соединительных проводов пренебречь.