Примеры решения задач

Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Решение

Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

, (1)

где – длина волны фотона; – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при формула переходит в сериальную формулу для водорода); n₁ – номер орбиты, на которую перешел электрон; n₂ – номер орбиты, с которой перешел электрон (n₁ и n₂ — главные квантовые числа).

Энергия фотона выражается формулой

.

Поэтому, умножив обе части равенства (1) на , получим выражение для энергии фотона:

.

Так как есть энергия W_i ионизации атома водорода, то

.

Вычисления выполним во внесистемных единицах:

13.6 эВ;

; ; ;

.

Пример 2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение

Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид:

, (1)

где – неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); – неопределенность импульса частицы (электрона); – постоянная Планка.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры , тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

.

Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде , откуда

. (2)

Физически разумная неопределенность импульса во всяком случае не должна превышать значения самого импульса р_х, т.е. . Импульс р_х связан с кинетической энергией W_k соотношением . Заменим значением (такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получим:

. (3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо символов величин подставим обозначения их единиц:

.

Найденная единица является единицей длины.

Произведем вычисления:

.

Пример 3. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Решение

Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

, (1)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); т_р, т_n, т_я – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса m_я нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома:

,

откуда

. (2)

Выразив в равенстве (1) массу ядра по формуле (2), получаем

, или .

Замечая, что , где – масса атома водорода, окончательно находим

. (3)

Подставив в выражение (3) числовые значения масс, получим:

[3∙1.00783 + (7 – 3) 1.00867 – 7 1.1601]а.е.м = 0.04216 а.е.м.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии

, (4)

где с – скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности может быть выражен двояко:

9 10¹⁶ м²/с² или 9 10¹⁶ Дж/кг.

Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то 931 МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (4) примет вид:

(МэВ). (5)

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

∙0.04216 МэВ = 39.2 МэВ.

Пример 4. Определить начальную активность радиоактивного препарата магния массой 0.2 мкг, а также его активность А через время t = 6 ч. Период полураспада Т_1/2 магния считать известным.