Р ешение

Здесь требуется найти разность потенциалов между точками a и b, которую измеряет вольтметр, подключенный к этим точкам. В данном случае сопротивление R_V одного порядка с R₁ и R₂, поэтому пренебречь током I в цепи вольтметра нельзя. Таким образом, здесь имеется разветвленная цепь, по трем участкам которой текут, вообще говоря, разные токи: I₁, I₂, I₃ (рис. 3.5). Задачу можно решить двумя способами, используя правила Кирхгофа для разветвленных цепей или применив первое правило Кирхгофа и закон Ома для участка неоднородной цепи. Рассмотрим оба способа.

1. Искомая разность потенциалов по закону Ома равна

. (1)

Чтобы определить силу тока I в цепи вольтметра, применим правила Кирхгофа. Обозначив на рис. 3.5 направления всех токов (для тока I делаем это лишь предположительно), согласно первому правилу Кирхгофа запишем для узла а:

I₂ – I₁ – I = 0. (2)

Для составления остальных двух независимых уравнений воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Предварительно выбрав направление обхода замкнутых контуров, например по часовой стрелке, и учитывая правило знаков, получим соответственно для контуров аR₁bа и аbR₂bа (вместо этого контура можно было бы взять контур аR₁bR₂а):

I₁R₁ – IR_V = E₁, (3)

I₂R₂ + IR_V = ε. (4)

Решив систему трех уравнений (2), (3), (4) с тремя неизвестными I₁, I₂ относительно тока I, найдем

. (5)

Подставив это значение I в (1) и произведя вычисления, получим

. (6)

Знак « – »в ответе означает, что , и в действительности ток в цепи вольтметра имеет направление, противоположное тому, что мы предположили, т.е. от точки b к точке а.

2. Применим закон Ома для участка неоднородной цепи поочередно к трем участкам: aR₁b, aR₂b, aR_Vb. Тогда, учитывая правило знаков, запишем соответственно три уравнения:

; ; .

Подставим эти значения сил токов в уравнение (2):

.

Решив это уравнение относительно величины , найдем ответ, совпадающий с формулой (6).

Пример 5. Два литра воды при начальной температуре 20°C закипают за 600 с. Сила тока, потребляемая электрическим водонагревателем, 6 А. Напряжение в электрической сети 230 В. Удельная теплоемкость воды равна 4.182∙10³ Дж/(кг∙°C) при 20°C. Определить коэффициент полезного действия водонагревателя.

Решение

КПД электрического водонагревателя равен отношению полезно затраченной теплоты Q₁ к израсходованной Q:

.

Затраченная на нагревание воды полезная теплота равна:

.

Вся израсходованная теплота

.

Тогда формула КПД примет вид

.

Вычислим: , .

Пример 6. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в точку А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r₀ = 30 см от его середины.

Решение

Для решения задач воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и принципом супернозиции магнитных полей. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет определить магнитную индукцию , создаваемую элементом тока Idl. Заметим, что вектор в точке А направлен за плоскость чертежа. Принцип суперпозиции позволяет для определения воспользоваться геометрическим суммированием (интегрированием):

, (1)

где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа в векторной форме:

,

где dB – магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной dl с током І в точке, определяемой радиусом-вектором r; ₀ – магнитная постоянная;  – магнитная проницаемости среды, в которой находится провод (в нашем случае для воздуха  = 1). Заметим, что векторы от различных элементов тока сонаправлены (рис. 3.6), поэтому выражение (1) можно переписать и скалярной форме:

где

В скалярном выражении закона Био-Савара-Лапласа угол есть угол между элементом тока и радиусом-вектором . Таким образом,

(2)

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы была одна переменная – угол . Для этого выразим длину элемента провода dl через угол : (рис. 3.6).

Рис. 3.6.	Рис. 3.7.

Тогда подынтегральное выражение запишем в виде Заметим, что переменная r, зависит от :

.

Следовательно,

Таким образом, выражение (2) можно записать в виде:

где ₁ та ₂ – пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

(3)

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода . С учетом этого, формула (3) примет вид

(4)

Из рис. 3.6 следует:

Подставив выражение в формулу (4), получим:

(5)

Произведя вычисления по формуле (5), найдем

В = 26.7 мкТл.

Направление вектора магнитной индукции поля, создаваемого прямым током, можно определить по правилу буравчика (правилу правого винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (пунктирная линия на рис. 3.7) и по касательной к ней в интересующей нас точке проводим вектор . Вектор магнитной индукции в точке А (рис. 3.6) направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас.

Пример 8. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0.3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.