Примеры решения задач

Пример 1. Сколько молекул воздуха находится в комнате, которая имеет размеры 843 м³, при температуре  t = 18°С и давлении р = 0.97∙10⁵ Па?

Решение

V = 843 м3 t = 18°С р = 0.97∙105 Па	Состояние газа некоторой массы определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Связь между этими параметрами (уравнение Менделеева-Клапейрона) для газа: , (1)
Ν – ?

где = – количество вещества или = ,

где N_A – число Авогадро которое равно: N_A = 6.02∙10²³ моль^-1, N – количество молекул воздуха в комнате.

Запишем уравнение (1) в виде

рV = RТ . (2)

Из (2) найдем количество молекул воздуха в комнате:

N = . (3)

Проверим размерности величин:

[Ν] = = = = 1.

Подставим значения заданных величин в формулу (3):

N = = 23·10²⁶.

Ответ: N = 23·10²⁶.

Пример 2. Определить среднюю кинетическую энергию <W_k> поступательного движения молекул газа, который находится под давлением 0.1 Па. Концентрация молекул газа равна 10¹³ см^–3.

Решение

Р = 0.1 Па n = 1013 см–3  = 1019 м–3	Рассмотрим изотермический процесс Т = соnst, согласно которому средняя кинетическая энергия
<Wk> – ?

поступательного движения определяется формулой

<W_k> = kT.

Кроме энергии неизвестна также температура газа. Давление при температуре Т равно р = nkТ. Тогда Т = .

Поставим полученное выражение в уравнение для энергии и найдем среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа

<W_k> = k = ,

где k = 1.38·10^–23 Дж/К.

Проверим единицы измерения

[<W_k>] = = =Н ·м = Дж.

Поставляя значения заданных величин, получим

<W_k> = =1.5∙10^-20Дж.

Ответ: <W_k> = 1.5∙10^-20Дж.

Пример 3. Кислород, который занимает при давлении 1 МПа объем 5 л, расширяется в 3 раза. Определить конечное давление и работу, совершенную газом. Рассмотрите следующие процессы: 1) изобарный; 2) изотермический, 3) адиабатный.

Решение

р1 = 1 МПа = 106Па V1 = 5 л = 5·10–3 м3 V1 = 5 л = 5·10–3 м3 V2 = 3 V1 М = 32·10–3 кг/моль р = соnst Т =  соnst Q = 0	1) Рассмотрим изобарный процесс р1= р2, р2 = 106 Па. Работа, которую выполняет газ при расширении равна: А = р1ΔV или А = р1ΔV = р1(V2 – V1). Так как V2 = 3V1, то работа А = р1 (3 V1 – V1)=2 р1V1. Подставим значения заданных величин: А = 2·106 ·5·10–3 = 104 Дж. 2) Рассмотрим изотермический процесс Т = соnst,
Р2 – ? А – ?

согласно которому р₁V₁ = р₂V₂.

Отсюда р₂= .

Проверка размерностей: [р₂] = Па · = Па.

Подставим значения заданных величин

р₂ = = 0.33·10⁶ Па.

Найдем работу по расширению газа из уравнения:

А = = р₁V₁ = р₁V₁ln .

Проверка размерностей: [А] = Па ·м³ = ·м³ = Н·м  = Дж.

Подставим значения заданных величин:

А = 10⁶ ·5·10^–3 ln = 5.5·10³ Дж.

3. Рассмотрим адиабатный процесс Q = 0. Согласно первому закону термодинамики , . Запишем уравнение Пуассона = соnst для данного случая:

.

Из уравнения найдем давление р₂:

р₂ = р₁ ,

где – коэффициент адиабаты, который равен = , і – число степеней свободы молекул, для кислорода і = 5 (двухатомный газ).

Проверка единиц измерения: [р] = Па· = Па.

Подставим значения заданных величин:

р₂ = 10⁶ или р₂ = 10⁶ (3)^–1.4 = 0.21·10⁶ Па.

Работа при адиабатическом процессе совершается за счет изменения внутренней энергии

ΔU = С_V ΔТ.

Т.к. А = –ΔU и С_V = , то работа по расширению газа .

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для массы т газа для двух состояний найдем разницу :

р₁V₁ = RТ₁ и р₂V₂ = RТ₂,

R (Т₁ – Т₂) = (р₁ V₁ – р₂ V₂).

Тогда работа А = (р₁V₁ – р₂V₂).

Проверка единиц измерения [А] = Па·м³ = ·м³ = Н·м = Дж.

Подставляя значения данных величин, получим

А = (10⁶ ·5·10^–3 – 10⁶ ·3·5·10^–3) = –4.63·10^-3 Дж.

Ответ: 1) р₂ = 10⁶ Па, А = 10⁴ Дж.

2) р₂ = 0.33·10⁶ Па, А = 5.5·10³ Дж.

3) р₂ = 0.21·10⁶ Па, А = –4.63·10^–3 Дж.

Пример 4. В емкость, в которой находится 2 кг воды и 0.5 кг льда при температуре 0°С, пропускают водяной пар, который имеет температуру 150°С. После того как лед растаял температура в емкости стала 30°С. Какова масса пропущенного пара? Теплоемкость емкости С_п = 630 .