6.3. Аналитические методы

Вторым этапом решения практических задач математи­ческими методами является выбор¹ метода исследования модели. Выбор метода исследования математической модели непосредственно связан с такими понятиями, как внешнее и внутреннее правдоподобие исследования.

Под внешним правдоподобием исследования понима­ется ожидаемая степень адекватности математической модели реальному объекту по интересующим исследо­вателя свойствам.

Под внутренним правдоподобием исследования по­нимается ожидаемая степень точности решения получен­ных уравнений, которые приняты за математическую мо­дель объекта.

Если вид модели уже выбран, то внешнее правдопо­добие модели считается фиксированным и выбор мето­да исследования будет целиком определяться необходи­мой степенью внутреннего правдоподобия.

161

В подавляющем большинстве случаев при выборе метода исследования руководствуются принципом соот­ветствия внешнего и внутреннего правдоподобия, ана­логичным известному правилу приближенных вычисле­ний; степень точности вычислений должна соответство­вать степени точности исходных данных. Однако в зави­симости от условий и задач исследования возможны от­клонения от принципа. Перечислим некоторые из них:

И-285

1. если речь идет о разработке нового единого мето­да исследований, который предполагается применять к широкому, заранее не фиксированному, классу моде­лей, то нужно стремиться к максимальному внутренне­му правдоподобию исследования независимо от уровня внешнего правдоподобия;

2. если осуществляется проверка внешнего правдо­подобия модели, то внутреннее правдоподобие избран­ного метода проверки должно быть максимальным;

3. если модель настолько проста, что для нее легко получить точное решение, то искусственно понижать строгость решения бессмысленно.

В других случаях предпочтение отдается «принципу равного правдоподобия».

Выбор метода исследования тем эффективнее, чем больше имеется сведений о конечном решении задачи. Такие сведения могут быть получены путем прикидоч- ных исследований модели или ее элементов.

В процессе прикидочных исследований осуществля­ется сравнение величин отдельных членов уравнений в изучаемом диапазоне изменения переменных и пара­метров задачи. Относительно малые слагаемые отбра­сываются, нелинейные зависимости заменяются на ли­нейные. Некоторые из компонентов модели аппроксими­руются грубыми уравнениями. Все это позволяет быстро получить грубое решение задачи.

Знание, хотя бы самое грубое, качественных и коли­чественных характеристик искомого решения помогает при выборе точности метода исследования. Иногда да­же грубое решение оказывается достаточным. В качест­ве примера .можно привести, задачу о поиске экспери­ментального значения функции. Если точка экстремума является стационарной, то даже грубая ошибка в ее отыскании мало скажется на подсчете этого значения. Поэтому применение высокоточных методов поиска та­кого экстремума нерационально. Громоздкие точные вы­числения в этом случае создают лишь иллюзию точнос­ти. В случае применения грубой математической моде­ли не следует применять громоздкие вычислительные методы.

Выбор метода исследования математической модели во многом предопределен ее видом.

Статические системы, представленные при помощи алгебраических уравнений, исследуются с помощью оп­ределителей, метода итераций, методов Крамера и Гау- са. В случае затруднений с аналитическими решениями используются приближенные методы: графический ме­тод; метод хорд; метод касательных; метод итераций. В последнем случае, который требует контроля точности (числа значащих цифр) в зависимости от грубости вы­числительного метода, целесообразно применение ЭВМ.

Исследование динамических режимов функциониро­вания объекта, представленных в классе дифференциаль­ных уравнений, также предопределяется классом, к ко­торому относится решаемое уравнение.

Если в результате решения алгебраических уравне­нии получаются числа, то при решении дифференциаль­ных уравнений получаются функции.

Для решения дифференциальных уравнений широко используются метод разделения переменных, метод под­становки, метод интегрирующего множителя, метод ка­чественного анализа и т.п. Для получения приближен­ных решений используют метод последовательных при­ближений, метод функциональных рядов, метод Рунге— Кутта, численные методы интегрирования и т. п.

Для подробного изучения моделей динамических си­стем, построенных в классе дифференциальных уравне­ний, используется качественная теория дифференциаль­ных уравнений.

Качественная теория дифференциальных уравнений позволяет изучить все возможный решения — регуляр­ные и особые.

В основе качественной теории лежит понятие фазо­вого портрета системы. Построение фазового портрета иллюстрируется следующим примером. Пусть рассмат­ривается система, описываемая следующим дифферен­циальным уравнением:

+ 0;

№

при начальных условиях

4(0) = Уо, Ф(0)

Не­

dt

настное решение этого уравнения представляется в виде

у = у₀ cos со/ + sin <d.

Принимая -^jr за новую искомую функцию и вводя обозначения

У = Ч di ¹

преобразуем исходное дифференциальное уравнение в систему уравнений первого порядка:

2, = г₂;

при начальных условиях

2,(0) = ^, г, (0) = jr₀. Частное решение имеет вид

Zi = Уо cos ®t -f sin w/; <a

Из полученной системы урав­нений для Zi и г₂, исключая t, имеем

Рис. 6.6, Фазовый порт­рет системы

1;

где

Ро

z₂ y₀ (o sin at 4- г/о cos M(t)

1

/

Последнее уравнение описывает эллипс на плоскости Z\Zi. Следовательно, частное решение для Z\ и з₂ выра­жается зависимостью от времени текущих координат точки jVf(/>, которая начинает свое движение в момент t = О от точки Ми 0/о> У о) и движется по эллипсу (рис. б.б).

Точка Ai (0 называется изображающей точкой. Тра­ектория такой точки называется фазовой траекторией.

Изменяя начальные условия, можно получить семей­ство фазовых траекторий, которое называется фазовым портретом, а плоскость ziz₂, на которой расположено это семейство, — фазовой плоскостью

.

В строительстве ряд задач исследуется с помощью интегральных уравнений, содержащих искомую функцию <p(s) под знаком интеграла:

S

h (дс) <р (х) — к Jft (д:, s)<p (s) ds = f (*),

a

где h(x), ф(x) — известные функции x; к — постоянный параметр, который называют собственным числом; k(x, s)—заданная функция, которую называют ядром интегрального уравнения.

функционала

Общего метода решения интегральных уравнений даже линейнего типа h{x)—0, ф(*)=0 не существует. Интегральное уравнение является решением дифферен­циального. Например, решением дифференциального уравнения первой степени

г? _ I tte

p = E_vs_y + л —

является интегральное урав­нение

s = е~^Еу^и* X

x^ + ^J^-V/-*).

о

- Если р ~ р<> = const, то имеем

Еу

Это позволяет сводить решение дифференциальных уравнений к решению интегральных и наоборот.

. Многие задачи исследуются с помощью вариационно­го исчисления. Чтобы сформулировать задачу вариаци­онного исчисления, вводят понятие функционала. Име­ем плоскую кривую y=f{x) с областью определения (рис. 6.7). Нетрудно видеть, что длина кри­вой $i, площадь р криволинейной трапеции, объем тела вращения v зависят от вида заданной кривой у—/(*)

Si = j Vl + {у' (*)№ p = J y{x) d*; у = л |[г/(х)рс1х.

Таким образом, функция y=f(x) однозначно опреде­ляет величины St, р, v, т.е. она играет роль своеобразно­го «аргумента».

В этом случае величины s₍, р, v называют функцио­налами относительно функции (дг).

Суть задачи вариационного исчисления состоит в том, что если задан функционал F(y') в области jco^jcOi.to требуется найти такую функцию t/ = f(x) в заданной об­ласти определения функционала F(y'), при которой этот функционал принимает минимальное или максимальное значение.

При исследовании процессов методами вариационно­го исчисления находят такие закономерности, при кото­рых их развитие энергетически наиболее экономно. Очень часто они описываются экспоненциальными функциями, удовлетворяющими принципам вариационного исчисле­ния.

При теоретических исследованиях широко использу­ется теория функций комплексной переменной. В основе этой теории лежит положение о комфорном преобразо­вании, согласно которому две пересекающиеся кривые Z\Z_t и 2]Z₃ из области z всегда можно перенести в об­ласть о) соответственно, кривым <й|Ы₂ и озг^з, сохраняя равенство углов между кривыми и в каждой паре. Это позволяет изменить координаты таким образом, чтобы упростить громоздкие математические преобразования.

Рассмотренные аналитические методы, как правило, позволяют успешно решать лишь относительно простые задачи. В то же время все чаще возникает необходимость использования сложных дифференциальных уравнений или их систем со сложными начальными и граничными условиями (часто нелинейными). Их решение весьма сложно или неизвестно, в этих случаях прибегают к тем или иным приближенным вычислениям с помощью чис­ленных методов.

Идея численных методов (методы конечных разнос­тей или сеток) заключается в следующем:

1. В плоской области G, в которой разыскивается ре­шение, строится сеточная область Gh, состоящая из оди­наковых ячеек (рис. 6.8) и приближающаяся к облас­ти G.

2. Заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно- разностным уравнением.

На основании граничных условий устанавливают­

3. ся значения искомого решения в граничных узлах облас­ти Ga.

Решив полученную систему конечно-разностных урав­нений {для чего необходимо решить алгебраическую си­стему с большим числом неизвестных), найдем значения искомой функции в узлах сетки, т.е. будем иметь чис­ленное решение поставленной за­дачи. Выбор сеточной области производится в зависимости от конкретной задачи, но во всех случаях контур сеточной области G_h следует выбирать так, чтобы он возможно лучше аппроксими­ровал контур заданной области G. Сеточная область может состо­ять из квадратных, прямоуголь­ных, треугольных и других клеток,

В качестве примера использо­вания численных методов может служить решение задачи внбро- формования бетонной смеси. Бе­тонная смесь при вибрации моде­лируется в виде сплошной упру- говязкой среды, а математиче­ская модель процесса виброфор­мования представлена в виде

dt дх- Ч dx* ду- )

где р — плотность бетонной смеси; t — время; х, у — де­картовы координаты; v_x — составляющая скорости бе­тонной смеси вдоль направления распространения коле­баний; Е—модуль упругости; / — смещение элемента бетонной смеси; tj — коэффициент динамической вязко­сти.

Первый член в правой части уравнения, описываю­щего процесс виброформования, представляет собой уп­ругую составляющую среды, а второй — вязкую.

Рис. 6.8, Сеточная об­ласть G_n с контуром Г для плоской области G, в которой производится решение двумерного дифференциального уравнения

Решение полученного уравнения аналитическими ме­тодами является чрезвычайно сложным и обычно в лите­ратуре не приводится. Для практического использования оно может быть решено с использованием ЭЦВМ, для чего его необходимо представить в конечно-разностном (безразмерном) виде. Для этого-введем следующие обо­

значения:

и = I! Аа>, W = vJA®, dx = d </ = cd/,

где с — скорость распространения колебаний в бетонной смеси; Л©— амплитуда колебаний.

Тогда математическая модель процесса виброформо­вания бетонной массы выразится уравнением

dt © I dx* . дуЪ J'

При численном интегрировании на ЭЦВМ это урав­нение представляют в разностном виде, для чего произ­водные заменяются конечно-разностными отношениями. Выбрав шаг 6х по оси х и бу по.оси у, построим сетку Xi=x<>+ibx; yi=y<\-\-iby { i, /=0, ±1, ±2, ...) (см. рис. 6.8). Тогда для первой производной функции f(x) получим следующие варианты записи:

Ё— & Fi+i — fi . JL & ft — ft-i . Л ~ fi+l - ^fi-i •

дх ~ 6x ■ ' дх ~ to ■ ' дх ~ 2bx ' для второй производной

_rJ fw-2/i + fi-i дх? ~ дх². ¹

где fm, fi, fi-t — значения функции f в узлах интегриро­вания соответственно.

Значение функции в данном нулевом узле через шаг интегрирования по времени 6/ обозначается через Wo', где W₀ — значение функции в нулевом узле в данный момент времени. С учетом принятых обозначений мо­дель виброформования бетонной массы примет вид

г₀^+а' - Wo + (Д2 w + д-; Г) +-Д| и

где

6.V- by- дх- ду-

Ьх* hx-

Vj+u-2 VIJ + VI-U by* by- ^й*" _ "iJ+i — ^2ui.J + UjJ-i .

— безразмерное время;

ш ₌ - «^:'о

dt Ы ' '

Обозначим через

6W=Wt^6<~ Го приращение без­размерной скорости за время 6t и, разделив левую и пра­вую части уравнения на Ы, получим

где а — безразмерное ускорение элементарного объема

т v© т)й> среды; « — —f — — безразмерный критерий подо­бия, представляющий отношение силы вязкостного тре­ния к динамическому давлению.

Реализация предложенного алгоритма заключается в следующем. На основании последнего уравнения опре­деляется безразмерное ускорение в заданном узле сетки интегрирования с использованием известных значений безразмерной скорости и перемещения в данный момент времени. Значения безразмерных перемещений и скоро­сти в заданном узле сетки интегрирования в последую­щий момент времени определяется по формулам **

и^+6а = м + Wf>i + — aSf- W^+6t = W + аЫ.

2

Описанный процесс повторяется по всем узлам сетки интегрирования для данного момента времени. Это поз­воляет определять значения безразмерного ускорения для последующего момента времени по всем узлам сет­ки интегрирования.

С учетом начальных условий м=—1, W — 0 и гранич­ных, выраженных в виде МО ^и можно последовательно получить численные значения скорос­тей и перемещений по всем узлам сетки интегрирования ^в функции координат и времени. Использование полу­ченных значений и и W позволяет сравнительно просто определить напряженное состояние вибрируемой бетон­ной смеси (рис. 6.9). Естественно, что вычисления в этом случае громоздки и необходимо использование специ­альных программ и ЭЦВМ.

Использование аналитических методов решения ма­тематических задач является основным методом совре­менного научного исследования. Однако громоздкость моделей и прямых методов решения уравнений затрудня­ет получение конечных решений. Поэтому в решении практических задач (особенно управленческих) нашли

П

					!			2
1						'На/	f1		3
		\
			ч		6= 1,0 МПа
					6- в/51

" 1234567SSW11

Сжатие ^ Растяжение

Рис, 6.9. Распределение кривых ровного значения ди­намического давления в модели формы с бетонной сме­сью при верхней свободной поверхности. Фазовый угол а~<У, частота колебаний 20 Гц. амплитуда — 3,5 HHi / — е-2,0 МПа; 2 — <Г-10 МПа; Л —о-0,3 МПа; 4 — а-0,1 МПа

широкое применение методы преобразования исходных уравнений (логарифмирование, преобразований Лапласа, Фурье и т.д.). ^v

Логарифмирование уравнений является простейшим способом преобразований.

Пусть нам необходимо получить решение простейше­го уравнения

которое называется оригиналом функции.

Возведение числа а в степень 0,2 прямыми методами затруднительно. Поэтому осуществляется преобразова­ние данного уравнения при помощи логарифмирования

logy = 0,2 log а

— это уравнение называется изображением функций .

При логарифмировании функция переводится из про­странства оригиналов в пространство изображений и опе­рация возведения в степень сводится к умножению чи­сел 0,2 и log а, что не встречает никаких затруднений.

При помощи антилогарифмирования полученный ре­зультат переводится из пространства изображений в про­странство оригиналов.

Приведенный пример хорошо иллюстрирует и являет­ся аналогом преобразований Лапласа и преобразований Фурье.

Смысл указанных преобразований аналогичен лога­рифмированию. Например, в преобразованиях Лапласа исходная функция времени переводится из пространст­ва оригиналов в пространство изображений при помощи интеграла

F(P) = }f(t)e-^pidt, о

где р — оператор Лапласа [р =

Перевод функции из пространства изображений в пространство оригиналов осуществляется при помощи интеграла

Величина с выбирается так, чтобы обеспечить сходи­мость интеграла.

Преобразование Лапласа широко используется при решении дифференциальных и интегральных уравнений. В процессе решения этих уравнений широко использу­ются таблицы преобразований функции, так же как это делается в случае логарифмирования.

Основываясь на методе преобразования функций, ре­шаются задачи анализа переходных процессов в си­стемах управления. В процессе анализа оперируют пе­редаточными функциями.

Под передаточной функцией поднимается отношение преобразования Лапласа выходной координаты линей­ной системы к преобразованию входной координаты при нулевых начальных условиях:

у{р)

х(р)

где W(p) — передаточная функция; х(р)—преобразо­вание Лапласа входного сигнала; у(р)—преобразова­ние Лапласа выходного сигнала.

Вид передаточной функции может быть получен из дифференциального уравнения системы управления пу­тем замены операции дифференцирования по времени оператором Лапласа р, а операции интегрирования по времени—заменой 1 /р.

Например, если система управления описывается дифференциальным уравнением

+ <#(/) = А* 0), Ч

at

то, произведя замену на р и переходя к изображе­ниям, получаем

py(p) + ay(p) = kx(p).

Такое представление дифференциального уравнения называется операционным.

Для нахождения передаточной функции этой систе­мы достаточно произвести несложные алгебраические преобразования. В результате получим

^ *<Р) Р + а

Кроме метода передаточных функций для анализа систем управления широко используется метод частот­ных характеристик, который составляет теоретическую базу обобщенного гармонического анализа.

Под частотной характеристикой системы понимают отношение комплексных изображений выходной и вход­ной амплитуд в установившемся режиме гармонических колебаний

А

где Л] — амплитуда синусоидального входного сигнала; (о — круговая частота; —амплитуда колебаний

выходной координаты; <р(«) —сдвиг по фазе синусои­дальных колебаний выходной координаты.

Аналитически W(j<A) можно получить из передаточ­ной функции заменой параметра преобразования Лап­ласа р на /ю с последующим выделением модуля комп­лексного числа и фазового сдвига.

Частотные характеристики систем управления ис­пользуют при анализе устойчивости, качества переход­ных процессов и динамической точности, синтеза кор­ректирующих устройств.

Кроме перечисленных при решении управленческих задач широко используются: метод пространства состоя­ний; метод компараментального анализа; информаци­онные методы,