Глава VII

МОДЕЛИРОВАНИЕ В НАУЧНОМ И ТЕХНИЧЕСКОМ ТВОРЧЕСТВЕ

7.1. Подобие и моделирование в научных исследованиях

Методы теории подобия и моделирования широко при­меняются в различных научных исследованиях.

Моделирование можно определить как метод практи­ческого или теоретического опосредованного оперирова­ния объектом. При этом исследуется не сам объект, а промежуточный вспомогательный, находящийся в не­котором объективном соответствии с самим познаваемым объектом и способный на отдельных этапах познания представлять в определенных отношениях изучаемый объект¹⁶, а также давать по исследованию модели ин­формацию об объекте.

При моделировании важна та помощь, которую оно оказывает при вскрытии качественных и количественных свойств явлений одинаковой физической природы и яв­лений, разнородных по своей физической сущности. В природе вследствие ее материального единства имеют­ся некоторые общие соотношения и простейшие формы, что позволяет делать широкие практические обобщения, в ряде случаев отвлекаясь в процессе познания от дета­лей происходящих явлений. Таким образом, при модели­ровании всегда должны присутствовать некоторые соот­ношения, устанавливающие условия перехода от модели к исследуемому объекту (оригиналу). Такие соотноше­ния носят название масштабов¹⁷. Моделирование включа­ет научные исследования, направленные на решение как общефилософских и общенаучных проблем (первый ас­пект), так и на решение конкретных научно-техничес­ких задач (второй аспект), где моделирование выступа­ет как инструмент исследования. Приемы анализа и ап­парат решения при этом различны, но метод одинаково требует установления критериев подобия, т.е.словесной или математической формулировки тех усло­вий, при которых модель может считаться закономерно отражающей (в том или ином смысле) оригинал.

Подобие явлений, характеризующееся соответ­ствием (в частном случае пропорциональностью) вели­чин, участвующих в изучаемых явлениях, происходящих в оригиналах и в моделях, по степени соответствия па­раметров модели и оригинала может быть трех видов.

Абсолютное подобие, требующее полного тождества состояний или явлений в пространстве и Времени, пред­ставляет собой абстрактное понятие, реализуемое толь­ко умозрительно.

Полное подобие — подобие тех процессов, протекаю­щих во времени и пространстве, которые до­статочно полно для целей данного исследования опреде­ляют изучаемое явление. Например, можно считать, что синхронный генератор имеет полное электромеханичес­кое подобие другому генератору, если все процессы из­менений токов, напряжений, вращающих моментов на валу, изменение во времени и пространстве распределе­ния магнитных и электрических полей отличаются в этих генераторах только масштабами. При этом нагрев или механические напряжения в отдельных деталях генера­тора могут быть неподобными, так как они не оказыва­ют существенного влияния на подлежащие исследованию электромеханические явления. Однако они могут быть наиболее существенными при исследовании тепломеха­нических процессов и т. д.

Неполное подобие связано с изучением процессов только во времени или только в прост­ранстве. Так, электромеханические процессы в син­хронном генераторе могут быть подобны во времени, без соблюдения геометрического подобия полей внутри машины.

Приближенное подобие реализуется при некоторых упрощающих допущениях, приводящих к искажениям, заранее оцениваемым количественно..С точки зрения адекватности физической природы модели и оригинала моделирование может быть физичес­кое, осуществляемое при одинаковой физической приро­де изучаемых явлений; аналоговое, требующее соответ­ствия в том или ином смысле параметров сравниваемых процессов. Например, одинаковой формы уравнений, описывающих физически разнородные явления: матема­тическое, предусматривающее формальные преобразова­ния уравнений, облегчающие их решение. Так, если диф­ференциальное уравнение (А), описывающее физический процесс, преобразовано в уравнение (В), то, установив соответствующие функциональные связи, можно рас­сматривать А и В в качестве подобных процессов. Усло­вия нелинейного подобия могут быть найдены для си­стем, параметры которых различно зависят от парамет­ров режима.

Теоремы о подобии. Все перечисленные выше виды подобия подчиняются некоторым общим закономерно­стям, которые принято называть теоремами о подобии. 3>тих теорем трй. Первая и вторая получены, исходя из предположения, что речь идет о явлениях, подобие кото­рых заранее известно. Они устанавливают соотношения между параметрами заведомо подобных явлений, не ука­зывая способов определения подобия между явлениями и путем реализации подобия при построении моделей. Ответ на последний вопрос дает третья теорема. Она оп­ределяет условия, необходимые и достаточные для того, чтобы явления оказались подобными.

Первая теорема подобия. У явлений, подобных в том или ином смысле '(физически, математически и т.д.), можно найти определенные сочетания параметров, на­зываемые критериями подобия, имеющими одинаковые (численно или по функциональным проявлениям) значе­ния. Следует заметить, что справедливо и обратное по­ложение: если критерии подобия численно одинаковы, то явления подобны.

Рассмотрим различные применения первой теоремы: случай подобных процессов, описываемых однородными уравнениями

где 1, 2, $ — номера процесса; у,-, у_п— параметры со­ответственно модели я объекта. Индексы, характеризу­ющие номер процесса, можно опустить и записать (7.1) в более общем виде:

я; = yj/t/n = idem, (7.2)

где idem означает «соответственно одинаково для всех рассмотренных процессов»; л —критерии подобия.

Критерии подобия любого явления могут преобразо­вываться в критерии другой формы с помощью опера­ций умножения или деления ранее найденных критериев друг на друга. Так, если какие-либо критерии n«=idem

и ;u₊/=idem, то n_Rjift+/=idern; n/?/nfi+/=idem; = idem; /?яв=Мет, где R— любая постоянная вели­чина.

Если уравнения процесса характеризуют его проте­кание во времени и пространстве с доступной и необхо­димой для данного исследования полнотой» то в этом слу- чае условия (7.2) — критерии полного подобия. Если уравнения характеризуют протекание процесса или толь­ко во времени, или только в пространстве, то (7.2) — критерии неполного подобия. Наконец, если исходные уравнения перед определением критериев будут упроще­ны, в них будут отброшены какие-то заведомо влияющие факторы и т. д., то найденные из них критерии (7.2) бу­дут называться критериями приближенного подобия.

В табл. 7.1...7.4 приведены критерии подобия для не­которых наиболее характерных процессов.

В случае подобных процессов, описываемых уравне­ниями с неоднородными функциями (трансцендентные, сложные и т.д.), аргументы неоднородных функций дол­жны быть равны, так как они в этом случае являются критериями подобия'. Так, например, если в функциях y_i = Rsmaxy_> q> = RsinAxy выполняется условие то подобие процессов характеризуется равенством аху= =Аху. Возможны условно подобные процессы, подобие которых выполняется при введении переменных масштабов (квазиподобие).

Первая теорема о подобии справедлива и в более* сложных случаях, когда уравнения процессов на первый взгляд неодинаковы, но введение переменных масштабов Параметров времени или пространства дает возмож­ность установить соответствие между оригиналом и мо­делью. Возможны, например, два случая подобия: обыч­ное геометрическое, когда куб преобразуется в подобный куб (другого размера), и так называемое афинное, когда куб преобразуется в параллелепипед. -Могут реализовы- ваться и более сложные преобразования, например, ког­да шар (глобус) представляется в виде плоскостной мо­дели (карты); это—конформное преобразование.

Вторая теорема подобия. Всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной систе­ме единиц, может быть представлено в виде зависимо­сти между безразмерными соотношениями из входящих

' Если аргумент неоднородной функции — сумма, то каждый из членов этой суммы представляет собой критерий подобия,

Критерий

Таблица 7.1 Критерии механического и гидродинамического подобия

Формульное выражение

Ньютона

Гомохроцностн, харак« териэующей однород­ность процессов во вре­мени

Фруда

Эйлера

Рейнольдса, характе­ризует процессы в не­сжимаемой жидкости

Архимеда, характери­зует процессы движения жидкости при различной ее плотности

F&tMt = fNe) vtll = [Но]

tfifql = [Fr] = [Eu] pf/(V, = (Re]

gt* P —P Vo P

= (Ar]

P D^M

pop — pu

Законы подобия гид­ротурбин

ы

I 0OP \з я°Р

мех мех i q_u

i

t — время; M —- масса; I — геометрический раз­мер; о— скорость; g — ускорение силы тя­жести; р — сила, давление;

р — плотность жидкости; |Л₀ — вязкость;

Y_e — коэффициент кинемати­ческой вязкости; Р— мощность турбины; D — диаметр; И — напор; М_тх — механический момент

.

в уравнение параметров, которые и есть критерии подо­бия.

Теорема указывает на возможность своего рода заме­ны перемеййых и сокращения их числа с т размерных до п безразмерных величин, с переходом к критериаль­ному уравнению. Таким образом, упрощается обработка аналитических и экспериментальных исследований, так как связь между безразмерными критериями подобия я чаще всего проще. Но не только этим определяется зна

-Таблица 7.2

Критерии электрического подобия

Общие критерии

Формульное выражение

Подобия электромагнит­ных явлений

Гомохронности

Подобия процессов при нелинейных магнитных ма­териалах (идентичность от­носительных характеристик) Подобие цепей

Подобие цепей с взаимной индукцией при одинаковом масштабе токов во взаимо­связанных цепях

Электродинамическое по­добие

Подобие цепей с взаимной индукцией при разном мас­штабе токов во взаимосвя­занных цепях

ууя ..

^Л1 — ТJ— ~ idem;

я₃ = e/yi = idem [Но] = cof = idem Ш-ц/Ии-НВД,)- idem

п* La — La/%a t = idem л* c_a c_a/Gt = idem

^п_Фаь = ^MlhiL„ U -- idem

ab'^a H ■

ⁿ = KbK^Rb^t2 =^idem

T

T*j = —L = idem Г*оь = M_abIR_b t = ide

m

И — коэффициент магнитной проницаемости; V —проводимость, удельная среда; I — геометрический размер; t _ время;

е — диэлектрическая постоянная; О— угловая скорость; © = 2nf; f —частота; Н_к — напряженность поля в точке К; L — индуктивность цепи; R — омическое сопротивление; С — емкость;

G — проводимость на единицу длины электрической линии; Л1 —взаимоиндуктивность; Т — постоянная времени.

чение теоремы. Весьма существенно, что переход к без­размерным соотношениям позволяет распространить ре­зультаты исследования, проведенного применительно к конкретному явлению, на ряд подобных явлений.

Пусть, например, какой-то процесс описывается ли­нейным дифференциальным уравнением третьего по­рядк

а

Таблица 7.3 Критерия электрического подобия Критерий	Формульное выражение
Дополнительные условия по­добия систем с распределенны­ми параметрами Приближенного электромаг­нитного и электродинамическо­го подобия Намагничивания ферромаг­нитных тел Электромагнитного подобия движущейся среды	/?„{?(, /3 = idem Г, = Г, = idem / Vl>(i'<o = M«m X\xv!t-i — idem

Критерии теплового подобия

Таблица 7.4 Критерия	Формульное выражение
Фурье	at! 11 = idem = fFoj (здесь а => к!ср% — коэффициент темпе­ратуропроводности; А. — коэффициент теплопроводности; сР — коэффициент теплоемкости; | — удельный вес)
Пекле (для движу­	vlla = idem = (PeJ
щейся жидкости с задан­
ным тепловым состоя­
нием)
Нуссельта	a't/X = idem = [Nu]
Кирпичева	Rl/X = idem = (Kij (здесь R — коэффициент теплопередачи)
Прандтля	y0/a = idem [PrJ

d³q> dt³

где

% = (AJA₃)VAjA₃ и ihwi/W

— безразмерные коэффициенты (критерии подобия) функциональных зависимостей <р=/(т).

Третья теорема подобия. Необходимыми и достаточ­ными условиями подобия являются пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однознач­ности, и равенство критериев подобия изучаемого явле­ния.

Три общие теоремы о подобии дополняются положе­ниями, оказавшимися весьма существенными при реше­нии многих практических задач. ■

Однако к теоремам подобия имеется ряд дополни­тельных положений, которыми необходимо руководство­ваться при моделировании.

Дополнительные положения: 1. Подобие сложных систем, состоящих из нескольких подсистем, соответственно подобных в отдельности, обеспечивается подобием всех сходственных элементов, являющихся об­щими для подсистем. Как следствие этого положения утверждается, что подобные сложные системы остаются подобными после любых упрощений, если только эти упрощения были проведены в системах соответственно одинаково.

2. 

   Все теоремы и условия подобия, справедливые для систем различной сложности, могут быть распределены на нелинейные системы, или системы с переменными па­раметрами, если выполняются условия совпадения отно­сительных характеристик, сходственных параметров, яв­ляющихся нелинейными или переменными.виду

   Условия подобия, справедливые для изотропных систем, которые характеризуются одинаковостью физиче­ских свойств (электропроводность, теплопроводность, упругость и т. п.) по всем координатам внутри данной

3. системы, могут быть распространены и на анизотроп- ные системы, имеющие неодинаковые свойства по раз­личным направлениям. При этом относительные анизо­тропии в сравниваемых системах должны быть соответ­ственно одинаковы.

4. В системах, геометрически не подобных, но имею­щих нелинейное подобие пространства, процессы могут быть физически подобны, имея в сходственных точках пространства подобные изменения параметров про­цесса¹⁸.

5. Все условия подобия, относящиеся к детерминиро- ванно заданным системам, справедливы для стохасти­чески определенных систем при условии совпадения у этих систем плотностей вероятностей сходственных па­раметров, представленных в виде относительных харак­теристик. При этом дисперсии и математические ожида­ния всех параметров с учетом масштабов должны быть у ' подобных систем одинаковыми. Дополнительным условием подобия является выполнение требования фи­зической реализуемости сходственной корреляции между стохастически заданными параметрами, входящими в ус­ловие однозначности.

7.2. Виды моделей

Теория подобия и моделирования, являющаяся, в сущно­сти, теорией постановки и обработки проводимых экспе­риментальных и аналитических исследований, способна в значительной мере разрешить многие возникающие при этом трудности. Однако подобие и моделирование не могут становиться и не стали отдельной (специальной наукой, хотя в гносеологическом плане выделяют неко­торые общие свойства, присущие всем моделям. Эти свойства заключаются в наличии некоторой структуры статической и динамической, которая подобна или рас­сматривается в качестве подобной структуры другой си­стемы. Любая модель, таким образом, это естественный или искусственный объект, находящийся в соответствии (j изучаемым объектом или какой-либо из его сторон. В процессе изучения модель служит относительно само­стоятельным «квазиобъектом», позволяющим получить при его исследовании некоторые знания о самом изучае­мом объекте. Модели всех видов постепенно приобрета­ют все большее значение, позволяя проводить научные исследования различных процессов, уточнять теорию ра­боты различных установок, проверять выводы и получать более полное и наглядное представление, чем это можно было бы сделать только на основании расчета. Модели имеют большое значение с точки зрения обучения, поз­воляя неоднократно воспроизводить аварийные режимы машин, аппаратов и систем, изучая при этом их в уско­ренном времени, необходимом для получения нужного опыта. Модели обеспечивают обработку психологической совместимости новых машин, аппаратов и систем, и че­ловека.

Концептуальные модели предполагают разработку и использование моделей, формируемых наблюдением в процессе обучения и наблюдения за объектом во вре­мя его функционирования. Модели позволяют оценивать значимость свойств целостности, выявлять свойства си­стемы и приходить в некоторое состояние, определяемое ее собственной структурой. Иногда выделяют логические модели, которые строятся с помощью аппарата матема­тической логики, а формальное построение используется далее для содержательной их интерпретации.

Кибернетические модели основываются на получении соотношений между входными и выходными функциями для некоего черного или серого ящика, представляюще­го изучаемое явление, без раскрытия его внутренней структуры.

Квазианалоговые модели и электронные модели за­нимаются синтезом цепей, являющихся моделями раз­личных объектов, имеют особенно большое значение в настоящее время при решении задач, возникающих при проектировании и эксплуатации больших систем техни­ческого назначения.

Электронное моделирование позволяет успешно решать задачи объектов и явлений путем созда­ния модели из комбинированных операционных блоков и проведения синтеза моделей. Набор универсальных комбинационных операционных блоков позволяет созда­вать универсальные и специализированные аналоговые машины (ABM), связанные с универсальными цифровы­ми вычислительными машинами (ЭВМ)¹⁹.

В последнее время много внимания уделяется зада­чам синтеза в отличие от задач анализа. Синтез требует не просто определения характера процесса при заданных его начальных условиях, но определения таких воздей­ствий на систему (и такое ее моделирование), при кото­рых удалось бы выявить характер и величину воздей­ствий, обеспечивающих в данной системе такой характер процессов, который желательно придать процессам в проектируемой или уже функционирующей системе.

Модель открывает большие возможности проверять предпосылки различных соотношений и допущений, при­нятых при математическом описании различных процес­сов, возникающих в аварийных условиях, и воспроизво­дить все действия персонала в условиях, близких к ес­тественным, необходимых для устранения аварийных ситуаций, т.е. осуществить психологическое мо­делирование операций. Подобие и моделирова­ние не только не находятся в противоречии с аналитиче­скими методами, применяющими цифровые вычислитель-' ные машины, но, напротив, подкрепляют их, обеспечивая проверку аналитических методов, способст­вуя уверенности в их применениях.