7.4. Физическое подобие и моделирование

Поставленная задача может быть осуществлена: I) при натурном моделировании {М), когда в объект, подлежа­щий исследованию, не вносят изменений и не создают специальных установок (производственный экспери­мент); при моделировании, осуществляемом путем об­общения сведений о явлениях или отдельных процессах, происходящих в натуре, и т. д.; 2) на специальных моде­лях и стендах.

Физическая модель (например, энергосистемы) пред­ставляет собой миниатюрную копию физически реальной системы. Для всякой модели всегда четко формулирует­ся круг задач, который будет решаться с ее помощью. Это выявляет те части системы, которые должны быть воспроизведены на модели с наибольшей полнотой и точ­ностью, требуемыми теорией подобия (условия соблю­дения критериев подобия) и практической. необходимо­стью.

Для проведения такого исследования необходимо со­здать модель, имеющую параметры, при которых кри­терии подобия модели одинаковы с соответствующими критериями подобия оригинала. Возможны также слу­чаи, когда модель специально не сооружается, а вместо нее применяются какие-либо подходящие установки, обеспечивающие при эксперименте получение процессов, близких к оригинальным. Затем выбираются наиболее существенные у данного процесса критерии подобия, для чего предварительно оцениваются параметры, входящие в эти критерии.

Известные критерии позволяют выбрать масштабы, при которых учитываются как постановка задачи, так и возможности оборудования. Неудачный выбор масш« табов может привести к тому, что параметры оборудо­вания модели будут отличаться от расчетных. Поэтому каждому исследованию на модели должна предшество­вать тщательная проверка всех ее параметров. Перед нроведением эксперимента следует предварительно про­верить работу оборудования модели по отдельным ее частям. И только после того, как получена полная уве­ренность, что все элементы модели в отдельности подоб­ны соответствующим элементам оригинала, можно со­брать модель в целом, соблюдая граничные условия при соединении ее отдельных элементов. Подготовленная таким образом модель дает возможность провести экс­перименты, получить достоверные данные и обработать их в критериальных зависимостях.

7.5. Аналоговое подобие и моделирование

Если явления в двух сопоставляемых системах имеют различную физическую природу, но некоторые наиболее интересные для данного исследования процессы, проис­ходящие в двух системах, описываются формально оди­наковыми дифференциальными уравнениями, то можно сказать, что одна система является прямой моделью- аналогом другой (структурное моделирование является разновидностью аналогового моделирования, при кото­ром дифференциальные уравнения, описывающие физиче­ский процесс, представляются отдельными элементами). Применение прямых моделей-аналогов ограничено, по­скольку не для всех задач можно выявить аналогию и по­добрать модель. В этом отношении структурные моде­ли, поэлементно моделирующие отдельные математиче­ские операции, более универсальны и обеспечивают большую точность.

Примером электрических моделей прямой аналогии являются расчетные модели постоянного тока, исполь­зующие постоянный ток в качестве аналога переменного тока. При этом электрическая схема системы перемен­ного тока воспроизводится с помощью активных сопро­тивлений, а ЭДС генераторов электростанций—с по­мощью источников постоянного тока. Расчетные модели переменного тока частично (для установившегося режи­ма) оказываются физическими моделями, а частично аналоговыми (для переходного режима). Исследуемые схемы представляются комплексными сопротивлениями и ЭДС с соответствующим сдвигом фаз.

Расчет переходкого процесса сложной систему пред­ставляет значительные трудности и требует для своего выполнения много времени. Стремление упростить эту работу привело, с одной стороны, к созданию специали­зированных аналоговых моделей, а с другой — к широ­кому использованию для исследования таких процессов типовых (универсальных) структурных аналоговых мо- , делей (аналоговые вычислительные машины типов МН-7, МН-18 АВК-2 и др.). При таком моделировании масш­табы trij, обеспечивающие подобие на АВМ, являются в общем случае размерными величинами, связывающи­ми параметры системы с машинными переменными — напряжениями на входах и выходах решающих блоков. Число этих переменных может превышать число уравне-

Та б л и ц а 7.6

Условия подобия при моделировании Название блока	Формула опера­ции, выполняе­мой блоком	Машинное уравнение блока	Условие подобия
Суммирующий	•9 г = 2 Щ хг		h mia't Щ
Интегросумми- рующий	ч 2 = 12й' Xt ^ ;=i	4 X xt dT	mi mt
Умножения		Xj — kxt Xp	rttj = ftnii m^ k = const mimu k ф const
Деления	Xt г~ хи	Xi	m} ф т} m(l
Функционала ного преобразова­ния	г = Нх)		—

k —- конструктивный коэффициент блока; At/ — коэффициент уси­ления; k{j—MjWjt — коэффициент передачи по i-му входу; 2,х — те­кущие переменные; ш —масштабы

ний моделируемого процесса, так как между машинны­ми переменными могут существовать некоторые допол­нительные зависимости, которые в явном виде отсутст­вуют в исходных уравнениях.

Условия подобия получаются на основе первой тео- ' ремы подобия и связывают коэффициенты 0.1 с масшта­бами irij и коэффициентами передачи решающих блоков (см. табл. 7.4).

Обеспечение аналогичности процесса в модели про­цессу в оригинале требует установить дифференциаль­ные уравнения, описывающие процесс; составить прин­ципиальную схему для решения задачи на модели, для каждого решающего блока выявить условия подобия и составить рабочую схему соединения (табл. 7.5) эле­ментов, затем набрать рабочую схему на коммутацион­ном поле АВМ, задать начальные условия, осуществить пуск машины и зарегистрировать получаемое решение с помощью электронно-лучевого индикатора, светолуче- вого осциллографа и т. д.

7.6. Математическое цифровое подобие и моделирование

Цифровые ЭВМ, моделирующие различные процессы, применяются в двух основных направлениях. Первое — это моделирование в натуральном времени происходящих процессов, когда данные для вычислений поступают на ЭВМ непосредственно от изучаемой системы или той, ко­торой необходимо управлять. При втором направлении (например, при решении задач проектирования, плани­рования и прогнозирования) нет надобности в моделиро­вании в темпе действительного процесса, можно эти процессы при моделировании ускорить. Аналогичные за­дачи возникают и при больших количествах уравнений, отвечающих, например, модели развития большой си­стемы. "Здесь также требуется быстродействие ЭВМ для того, чтобы в обозримые сроки решать поставленные за­дачи.

ЭВМ. не являются моделирующим устройством како­го-либо конкретного процесса в том смысле, какой обыч­но на основе наших привычных представлений вклады­вается в понятие модели. Получая данные для анализа, ЭВМ вычисляет какую-либо функцию, перерабатывает, хранит и выдает информацию, создавая формальную мо­дель— алгоритм вычисляемой функции.

Алгоритмы, перерабатывающие информацию, должны иметь общность характера, т.е. отражать ход решения не какой-нибудь отдельной задачи, а целого класса обоб­щенных подобных задач, общность которых выявлена методами теории подобия и запись алгоритмов проведе­на в критериях подобия; обладать четкостью и одно­значностью указаний по проведению операций на каж­дом этапе их выполнения, непосредственно и быстро приводить к решению, выдаваемому в удобной' для ис­пользования форме, т.е. должны обладать результатив­ностью при любой исходной информации и точном со­блюдении распоряжений, определяющих вычислительный процесс, выдавать окончательный результат в виде обобщенных зависимостей (соотношений, графиков), позволяющих распространить результаты на группы яв­лений, подобных данным.

При соблюдении указанных условий ЭВМ вместе с соответствующим алгоритмом может рассматриваться как модель изучаемого процесса, обеспечивающая реше­ние научных и технических задач.

Современную технику все больше и больше начина­ют интересовать решения, использующие не только ма­тематические модели, алгоритм.которых предусматрива­ет жесткий программный ход, как это делается в боль­шинстве случаев при применении ЭВМ, но и модели, которые позволили бы подходить к задаче как к эргати- ческой, предусматривающей вмешательство оператора в процесс исследования или управления, что равносильно переходу к более высокому классу задач. При реализации эргатического моделирования требуются изменения в подходах к программированию и в сочетаниях комплек­сов цифровой и вычислительной техники. Отсюда появ­ляются новые модели — гибридные, сочетающие цифро­вые ЭВМ и АВМ.

Требования к точности и достоверность результатов моделирования различны в зависимости от поставленных задач и характера исследований. Исследования, касаю­щиеся проектных разработок, а также оценки и относи­тельного сопоставления вариантов, не требуют высокой точности результатов. Однако точность результатов име­ет весьма большое значение, если исследования прово­дятся применительно к конкретной схеме, а полученные результаты необходимо распространить на ряд ориги­налов.

При получении на основе моделирования характери­стик тех или иных явлений необходимо учитывать фак­торы, обусловливающие расхождение результатов, по­лучаемых в моделях и в оригиналах. К этим факторам относятся неточности, обусловленные определением или заданием параметров оригинала, входящих в критерии подобия, и воспроизведением параметров на модели (эти неточности можно свести к некоторым суммарным неточностям воспроизведения критериев подобия); по­грешностями измерений при проведении опытов (эти по­грешности могут быть уменьшены многократным повто­рением измерений, выбором приборов надлежащей точ­ности); неполным учетом в модели факторов, заведомо влияющих на главные процессы (осуществление прибли­женного моделирования вместо точного).

Непостоянство случайно изменяющихся параметров, входящих в критерии подобия, приводит к тому, что кри­терии подобия также оказываются подверженными слу­чайным вариациям. Поэтому при оценке достоверности результатов моделирования систем, имеющих такие параметры, необходимо также учитывать влияние слу­чайных факторов.

Точность результатов экспериментальных ис­следований реальной системы, опытов на физической модели, процедуры моделирования на АВМ и численно­го решения систем уравнений, описывающих исследуе­мый процесс, должна оцениваться различно. В первом случае «натура» — рассматривается конкретное явле­ние; во втором «физическая модель» — физически вос­производятся определенные стороны явления на основе теории подобия стохастически определенных систем; в третьем «АВМ» — воспроизводятся математические закономерности, отраженные в уравнениях описываемо­го процесса; в четвертом «ЭВМ» — осуществляется чис­ленная интерпретация этих закономерностей.

Обычно в практических приложениях оценка досто­верности результатов моделирования с учетом погреш­ностей задания и воспроизведения критериев подобия сводится к двум задачам: к оценке влияния стохастиче­ских вариаций критериев подобия и к оценке погреш­ности реализации приближенного моделирования вместо точного

.Оценка погрешностей моделирования, связанных с неточностью воспроизведения критериев подобия, тре­бует изучения характера связи между исследуемым про­цессом и количественными отклонениями критериев по­добия, представляемой в виде уравнения регрессии ^{3 3}

где я/, ^ — кодированное значение критериев. Получен­ное уравнение показывает степень влияния каждого кри- ^v терия подобия на величину п и позволяет установить зоны заметной погрешности, которое надо исключить из рассмотрения.

Полученная информация позволяет объективно ре­шить вопрос о необходимой точности воспризведения кри­териев подобия, соответствующей степени их влияния на исследуемый процесс.

Погрешности приближенного моделиро­вания выявляются двумя корректирующими друг дру­га путями. Во-первых, проверкой последовательным мо­делированием, когда, моделируя одну и ту же систему в разных масштабах, при разных коэффициентах линеа­ризации и т. п., можно получить представление о воз­можном искажающем эффекте моделирования. Во-вто- рых, исследованием уравнений, положенных в основу приближенных критериев подобия, и проведением се­рий опытов и расчетов с разным сочетанием величин, входящих в приближенные критерии.