Завдання 3. Рішення багатокритеріального завдання про вибір будинку методом аналізу ієрархій. Приклад використання Методу Аналізу Ієрархій (маі) для рішення завдання багатокритеріального вибору

Р одина середнього статку (американська) вирішила купити будинок. Вони звернулися в найближче агентство нерухомості, де їм запропонували для економії часу ознайомитися з мультимедійним каталогом¹ будинків, що пропонуються до продажу. Після віртуальної подорожі по околицях міста, вони відібрали три найбільш підходящих їм будинки. Завдання тепер полягало у виборі одного із трьох домів-кандидатів.

Б удинок А. Це - найбільший будинок, навколо гарні околиці, неінтенсивний рух транспорту, податки додому невеликі. Двір більше, ніж у будинків Б и В. Проте загальний стан не дуже гарний, потрібен ґрунтовний ремонт й проведення малярських робіт. Через те, що будинок фінансується банком з високою процентною ставкою, фінансові умови можна вважати незадовільними.

Б удинок Б. Цей будинок трошки менше будинку А, розташований далеко від автобусних зупинок, навколо інтенсивний рух транспорту. Будинок досить малий, і в ньому відсутні основні сучасні зручності. З іншого боку, загальний стан дуже гарний. Крім того, на дім можна одержати заставну з досить низькою процентною ставкою; це означає, що фінансові умови цілком задовільні.

Будинок В. Цей будинок дуже маленький, і в ньому немає сучасних зручностей. В околиці - високі податки, але будинок у гарному стані й представляється безпечним. Двір більше, ніж у будинку Б, однак, незрівнянно менше великого простору навколо будинку А. Загальний стан будинку - гарний, і в ньому гарні килими й шпалери. Фінансові умови набагато краще, ніж для будинку А, але не так гарні, як для будинку Б.

Члени родини не знали про існування яких-небудь методів прийняття багатокритеріальних рішень, так вони й слова такого ніколи не чули. Однак Фахівець із риелтерської фірми узявся їм допомогти. Спершу він попросив членів родини визначити фактори, які їм здаються важливими для вибору будинку. У результаті обговорення вдалося виявити вісім критеріїв, яким, як здавалося повинен задовольняти будинок.

1. Розміри будинку: місткість сховищ; розміри кімнат; число кімнат; загальна площа будинку.

2. Зручність автобусних маршрутів: близька автобусна стоянка.

3. Околиці: інтенсивність руху транспорту; безпека; гарний вид; низькі податки; доглянуті околиці.

4. Коли побудований будинок: не має потреби в поясненні.

5. Двір: включає простір перед будинком, позаду, збоку, а також відстань до сусідів.

6. Сучасне обладнання: посудомийна машина; видалення сміття; кондиціонування повітря; система сигналізації й інші подібні пристрої, наявні в будинку.

7. Загальний стан: потреба в ремонті; стіни, килим, драпірування, чистота; електропроводка; дах; водопровідна система.

8. Фінансові умови: допускає закладная, умови продажу й банківський кредит.

Потім, Фахівець² попросив членів родини відповісти на ряд питань, щоб з'ясувати достоїнства й недоліки кожного із трьох будинків, з погляду родини, а також відносну важливість кожного із критеріїв при здійсненні покупки. Члени родини, відповідаючи на ці питання, заповнили кілька таблиць, (наведених нижче).

Перший крок складається в декомпозиції й поданні завдання в ієрархічній формі. На першому (вищому) рівні перебуває загальна мета - “Будинок”. На другому рівні перебувають вісім факторів або критеріїв, що уточнюють ціль, і на третьому (нижньому) рівні перебувають три доми-кандидати, які повинні бути оцінені стосовно критеріїв другого рівня. (см. рис.1).

Рисунок 4.1 - Декомпозиція завдання в ієрархію.

Шкала відносної важливості

Інтенсивність відносної важливості		Визначення
1		Рівна важливість
3		Помірна перевага одного над іншим
5		Істотна перевага
7		Значна перевага
9		Дуже сильна перевага
2, 4, 6, 8		Проміжні відносини між двома сусідніми судженнями
Зворотні величини наведених вище чисел	Якщо при порівнянні однієї альтернативи з іншої отримано одне з вищевказаних чисел, то при порівнянні другої альтернативи з першої одержимо зворотну величину.

Коли людина вибирає, що йому подобається більше, а що менше, він, як правило, ніколи не використовує числа. Людина виражає свої почуття за допомогою лінгвістичних оцінок. Саме цей факт був покладений в основу проведення попарних порівнянь Томасом Саати при розробці методу аналізу ієрархій (МАІ). Він запропонував використати для виконання порівнянь дев'ять лінгвістичних оцінок, що відображають ступінь переваги, важливості або переваги одного елемента ієрархії над іншим. Цим лінгвістичним оцінкам поставлена у відповідність дев'ятибальна шкала відносної важливості³ .

Заповнюючи таблиці 1, 2а, 2б, 2в по суті ви виконували попарні порівняння, звернувся фахівець до родини. Тепер на підставі ваших оцінок я складу спеціального виду матриці, проведу ряд нехитрих обчислень, і побачимо, який із трьох будинків вам підходить у найбільшому ступені з урахуванням ваших смаків і переваг.

Сказано - зроблено. От який вид мають ці матриці. Ми одержали одну матрицю розміром 8 8 у якій перебувають результати попарних порівнянь критеріїв по їхній важливості при виборі будинку й вісім матриць суджень розмірністю 3 3, оскільки є вісім критеріїв на другому рівні й три будинки, які попарно рівняються по кожному із критеріїв.

Матриця попарних порівнянь критеріїв (рівень 2)

Загальне задоволення будинком	1	2	3	4	5	6	7	8
Розміри будинку ( 1)	1	5	3	7	6	6	1/3	1/4
Зручність автобусних маршрутів ( 2)	1/5	1	1/3	5	3	3	1/5	1/7
Околиці ( 3)	1/3	3	1	6	3	4	6	1/5
Коли побудований будинок ( 4)	1/7	1/5	1/6	1	1/3	1/4	1/7	1/8
Двір ( 5)	1/6	1/3	1/3	3	1	1/2	1/5	1/6
Сучасне встаткування ( 6)	1/6	1/3	1/4	4	2	1	1/5	1/6
Загальний стан ( 7)	3	5	1/6	7	5	5	1	1/2
Фінансові умови ( 8)	4	7	5	8	6	6	2	1

Таблиця 4.3

Порівняйте відносну важливість (вагомість) критеріїв, задаючи питання типу: "Який із двох критеріїв важливіший при виборі будинку і якою мірою?"

У випадку переваги критерію А над критерієм Б поставити у відповідній клітці знак "+".

У випадку переваги критерію Б над критерієм А поставити у відповідній клітці знак "-".

	Інтенсивність відносної важливості	Рівна важливість	Помірна перевага		Істотна перевага		Значна перевага		Дуже сильна перевага
№	Назва критерію	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	Розміри будинку й Зручність автобусних маршрутів
2	Розміри будинку й Околиці
3	Розміри будинку й Коли побудований будинок
4	Розміри будинку й Двір
5	Розміри будинку й Сучасне обладнання
6	Розміри будинку й Загальний стан
7	Розміри будинку й Фінансові умови				-
8	Зручність автобусних маршрутів і Околиці			-
9	Зручність автобусних маршрутів і Коли побудований будинок					+
10	Зручність автобусних маршрутів і Двір			+
11	Зручність автобусних маршрутів і Сучасне обладнання			+
12	Зручність автобусних маршрутів і Загальний стан					-
13	Зручність автобусних маршрутів і Фінансові умови							-
14	Околиці й Коли побудований будинок						+
15	Околиці й Двір			+
16	Околиці й Сучасне обладнання				+
17	Околиці й Загальний стан						+

№	Назва критерію	1	2	3	4	5	6	7	8	9
18	Околиці й Фінансові умови
19	Коли побудований будинок і Двір
20	Коли побудований будинок і Сучасне обладнання
21	Коли побудований будинок і Загальний стан
22	Коли побудований будинок і Фінансові умови
23	Двір і Сучасне встаткування
24	Двір і Загальний стан
25	Двір і Фінансові умови
26	Сучасне обладнання й Загальний стан					-
27	Сучасне встаткування й Фінансові умови						-
28	Загальний стан і Фінансові умови		-

Таблиця 4.4а

Порівняйте відносну перевагу будинків А и Б по кожному з восьми критеріїв, задаючи питання типу: "Який із двох будинків важливіший, при порівнянні за критерієм 'Розміри будинку' і якою мірою?"

У випадку переваги будинку А над будинком Б поставити у відповідній клітці знак "+".

У випадку переваги будинку Б над будинком А поставити у відповідній клітці знак "-".

	Інтенсивність відносної важливості	Рівна важливість	Помірна перевага		Істотна перевага		Значна перевага		Дуже сильна перевага
№	Назва критерію	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	Розміри будинку
2	Зручність автобусних маршрутів
3	Околиці
4	Колипобудований будинок	+
5	Двір
6	Сучасне обладнання
7	Загальний стан
8	Фінансові умови

Таблиця 4.4 б

Порівняйте відносну перевагу будинків Б и В по кожному з восьми критеріїв, задаючи питання типу: "Який із двох будинків важливіший, при порівнянні за критерієм 'Розміри будинку' і якою мірою?"

У випадку переваги будинку Б над будинком В поставити у відповідній клітці знак "+".

У випадку переваги будинку В над будинком Б поставити у відповідній клітці знак "-".

	Інтенсивність відносної важливості	Рівна важливість	Помірна перевага		Істотна перевага		Значна перевага		Дуже сильна перевага
№	Назва критерію	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	Розміри будинку				+
2	Зручність автобусних маршрутів
3	Околиці
4	Коли побудований будинок	+
5	Двір			-
6	Сучасне обладнання
7	Загальний стан	+
8	Фінансові умови			+

Таблиця 4.4 в

Зрівняєте відносну перевагу будинків А и В по кожному з восьми критеріїв, задаючи питання типу: "Який із двох будинків важливіший, при порівнянні за критерієм 'Розміри будинку' і якою мірою?"

У випадку переваги будинку А над будинком В поставити у відповідній клітці знак "+".

У випадку переваги будинку В над будинком А поставити у відповідній клітці знак "-".

	Інтенсивність відносної важливості	Рівна важливість	Помірна перевага		Істотна перевага		Значна перевага		Дуже сильна перевага
№	Назва критерію	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	Розміри будинку								+
2	Зручність автобусних маршрутів					-
3	Околиці						+
4	Коли побудований будинок	+
5	Двір				+
6	Сучасне обладнання						+
7	Загальний стан		-
8	Фінансові умови					-

Нижче наведені заповнені матриці попарних порівнянь альтернатив щодо критеріїв.

Матриці попарних порівнянь альтернатив (рівень 3)

Розміри будинку	А Б У	Зручність автобусних маршрутів	А Б У
А Б В	1 6 8 1/6 1 4 1/8 1/4 1	А Б В	1 7 1/5 1/7 1 1/8 5 8 1
Околиці	А Б У	Коли побудований будинок	А Б У
А Б В	1 8 6 1/8 1 1/4 1/6 4 1	А Б В	1 1 1 1 1 1 1 1 1
Двір	А Б У	Сучасне обладнання	А Б У
А Б В	1 5 4 1/5 1 1/3 1/4 3 1	А Б В	1 8 6 1/8 1 1/5 1/6 5 1
Загальний стан	А Б У	Фінансові умови	А Б У
А Б В	1 1/2 1/2 2 1 1 2 1 1	А Б В	1 1/7 1/5 7 1 3 5 1/3 1

Із групи матриць парних порівнянь ми формуємо набір локальних пріоритетів, не вгамовувався Фахівець, які виражають відносний вплив безлічі елементів на елемент рівня, що примикає зверху. Знаходимо відносну чинність, величину, цінність, бажаність або ймовірність кожного окремого об'єкта через “рішення” матриць, кожна з яких має зворотно симетричні властивості. Для цього потрібно обчислити безліч власних чисел - _i і векторів - _i для кожної матриці, а потім, вибравши головний власний вектор, що відповідає максимальному власному числу _max, виконати його нормування, одержуючи тим самим вектор локальних пріоритетів.

Нехай А  [a_ij] - квадратна матриця nn; _i - власні значення (їх іноді називають характеристичні числа); _i - власні вектори матриці А. Власні значення знаходять як корінь алгебраїчного рівняння n - ой ступеня (характеристичного рівняння):

a₁₁- a₁₂ …a_1n

a₂₁ a₂₁- …a_2n

det (А -  E)  ………….......……...... = 0

a_n1 a_n2 a_nn-

Власні вектори знаходять як рішення рівняння: (А - _i E) _i = 0. В обчислювальній математиці розроблена велика кількість різних алгоритмів для відшукання власних значень і власних векторів квадратної матриці.

Обчислення власних векторів - не дуже складне завдання, (відповідні чисельні методи реалізовані в багатьох пакетах програм, наприклад MATHCAD), однак, може зажадати досить багато часу. На щастя, є нескладні шляхи одержання гарного наближення власних векторів. Одним з найкращих - є геометричне середнє. Це можна зробити, перемножуючи елементи в кожному рядку й витягаючи коріння n-ої ступеня, де n- число елементів. Отриманий у такий спосіб колонка чисел нормується шляхом розподілу кожного компонента вектора на їхню суму. Таким чином, ми можемо визначити не тільки порядок пріоритетів кожного окремого елемента, але й величину його пріоритету.

Розміри будинку	Вектор локальних пріоритетів	Зручність автобусних маршрутів	Вектор локальних пріоритетів
А Б В	0.754 0.181 0.065 max=3,136	А Б В	0,233 0,005 0,713 max=3,247
Околиці	Вектор локальних пріоритетів	Коли побудований будинок	Вектор локальних пріоритетів
А Б В	0,745 0,065 0,181 max=3,130	А Б В	0,333 0,333 0,333 max=3,000
Двір	Вектор локальних пріоритетів	Сучасне обладнання	Вектор локальних пріоритетів
А Б В	0,674 0,101 0,226 max=3,086	А Б В	0,747 0,060 0,193 max=3,197
Загальний стан	Вектор локальних пріоритетів	Фінансові умови	Вектор локальних пріоритетів
А Б В	0,2 0,4 0,4 max=3,000	А Б В	0,072 0,650 0,278 max=3,065

"Наступним етапом є застосування принципу синтезу. Для виявлення складових, або глобальних, пріоритетів будинків становлять матрицю спеціального виду", продовжував Фахівець. "У її першому рядку розташований вектор локальних пріоритетів критеріїв, а в колонках розташовані відповідні їм вектора пріоритетів альтернатив.

	1	2	3	4	5	6	7	8	Обобщенные или гло-бальные приоритеты
Кр	0,173	0,054	0,188	0,018	0,031	0,036	0,167	0,333
А	0,754	0,233	0,745	0,333	0,674	0,747	0,200	0,072	0,396
Б	0,181	0,055	0,065	0,333	0,101	0,060	0,400	0,650	0,341
В	0,065	0,713	0,181	0,333	0,226	0,193	0,400	0,278	0,263

Вектор глобальних пріоритетів обчислюється шляхом множення рядка Кр (вектор критеріїв) на рядки А, Б, і У відповідно (ваги альтернатив щодо кожного із критеріїв). Наприклад, для будинку А маємо:

(0,754(0,173) + (0,233(0,054) + (0,745(0,188) + (0,333(0,018) +

(0,674(0,031) + (0,747(0,036) + (0,200(0,167) + (0,072(0,333) = 0,396.

Аналогічно обчислюються й два інших значення компонентів вектора.

Для будинку Б маємо:

(0,181(0,173) + (0,055(0,054) + (0,065(0,188) + (0,333(0,018) +

(0,101(0,031) + (0,060(0,036) + (0,400(0,167) + (0,650(0,333) = 0,341.

Для будинку В маємо:

(0,065(0,173) + (0,713(0,054) + (0,181(0,188) + (0,333(0,018) +

(0,226(0,031) + (0,193(0,036) + (0,400(0,167) + (0,278(0,333) = 0,263.

З наявних альтернатив вибираємо ту, котрої відповідає максимальний компонент вектора глобальних пріоритетів, оскільки вони увібрали в себе всю інформацію про переваги альтернатив і критеріїв.

Т аким чином, був обраний будинок А, що був найменш бажаним з погляду фінансових умов, однак якому родина віддала перевагу по кількох інших критеріях.