4.7. Связь работы потенциального поля с изменением энергии

В ыберем в пространстве две произвольные точки 1 и 2 и вычислим работу потенциального поля F от точки 1 до 2 (рис. 4.11).

Введём базовую точку М₀. Тогда, используя свойство аддитивности работы и независимость работы от формы пути, получаем:

А₁₋₂ = .

Но, по определению,

, ,

следовательно,

А_1-2 = U₁ − U₂ = −ΔU. (4.4)

Таким образом, работа потенциального поля между двумя точками равна убыли потенциальной энергии частицы: если работа поля А_1-2 > 0, то потенциальная энергия частицы уменьшается, а при А_1-2 < 0 увеличивается.

Замечание. ΔU = U₂ − U₁ − это приращение энергии, а U₁ − U₂ − убыль.

Потенциальная энергия в системе СИ, как и работа, измеряется в джоулях.

4.8. Кинетическая энергия

Пусть на частицу действует сила F любой природы. Это означает, что:

1) скорость частицы меняется в соответствии с законом Ньютона: F = m ;

2) сила F совершает работу.

Элементарная работа силы F:

dA = F·dl = m = m(υ·dυ) = m d ^).

Видно, что работа силы F идёт на приращение некоторой величины в скобках. Эта величина носит название кинетической энергии Т частицы:

Т = .

При элементарной работе силы F любой природы приращение кинетической энергии частицы dT = dA, а при конечном перемещении частицы изменение её кинетической энергии

ΔТ = Т₂ − Т₁ = А_1-2 . (4.5)

Если А_1-2 > 0, то кинетическая энергия возрастает, а при А_1-2 < 0 − убывает.

В системе СИ кинетическая энергия, как и работа, измеряется в джоулях.

4.9. Полная механическая энергия

Работу может совершать сила любой природы − как сила F_конс. со стороны самогǒ потенциального поля (она называется консервативной), так и сила любой иной природы F_стор. (такие силы называются сторонними), или же их комбинация. Например. частица может двигаться в потенциальном поле тяжести, но с трением, т. е. F = F_конс. + F_тр . В гравитационном поле сторонними силами могут быть силы трения, упругости. Таким образом, в общем случае:

F = F_конс. + F_стор..

Тогда выражение (4.5) можно представить в виде:

ΔТ = А_конс. + А_стор.,

где А_конс. = − работа консервативной силы, А_стор. = − работа сторонней силы. Но, согласно (4.4), работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии частицы: А_конс. = −ΔU, следовательно,

ΔТ = −ΔU + А_стор.,

или:

Δ(T + U) = А_стор. . (4.6)

Отсюда видно, что работа поля сторонних сил идёт на приращение некоторой величины (T + U). Эта величина − сумма кинетической и потенциальной энергий − называется полной механической энергией частицы в потенциальном поле и обозначается символом Е:

Е = Т + U.

Таким образом, приращение полной механической энергии частицы равно работе сторонних сил:

ΔЕ = Е₂ − Е₁ = А_стор. . (4.7)

Пример. Тело массой m сила F = 2mg поднимает вверх. Найти скорость тела на высоте h.

Решение. Работа силы A = Fh = ΔE = ΔU + ΔT = mgh + mυ²/2. Отсюда

υ = .