4.10. Закон сохранения полной механической энергии
Выражение (4.7) означает, что полная механическая энергия частицы может изменяться только под действием сторонних (т. е. внешних по отношению к данному потенциальному полю) сил. Если же сторонних сил нет, то полная энергия частицы в потенциальном поле не меняется: ΔЕ = 0, или
Т + U = const.
Следовательно, в потенциальном поле приращение кинетической энергии частицы равно убыли её потенциальной энергии: ΔТ = −ΔU.
Замечание. Работа потенциального поля Апот. = −ΔU, и эта же работа равна ΔТ. В связи с этим, работу − следует рассматривать как меру преобразования энергии из одного вида в другой: −ΔU = Апот. = ΔТ.
4.11. Сила как градиент потенциальной энергии
Формула (4.3) позволяет вычислять потенциальную энергию частицы U, если задано силовое поле F(х, у, z). Получим соотношение, позволяющее решать обратную задачу: по известной функции U(х, у, z) найти силу F(х, у, z).
Применим формулу (4.4) к малому участку траектории dl (рис. 4.12):
А
1-2
= F·Δl
= −ΔU,
или, при Δl → 0:
dA = F·dl = −dU. (4.8)
Но
.
Правую часть этого
соотношения можно представить как
скалярное произведение вектора с
координатами
на вектор dl
= {dx,
dy,
dz}:
.
(4.9)
Определение. Вектор с координатами называется градиентом скалярной функции U(х, у, z) и обозначается символом grad U, или U:
grad U ≡ U = .
Здесь символ называется дифференциальным оператором «набла», или оператором Гамильтона. Он расписывается так:
.
Всякая скалярная функция φ(х, у, z), подверженная его действию, становится вектором «grad φ»: φ = grad φ. С использованием оператора выражение (4.9) принимает более компактный вид:
dU = − U · dl.
И тогда равенство (4.8) записывается в виде:
F · dl = − U · dl.
А так как вектор dl произвольный, то выполнении этого равенства возможно лишь при условии:
F = − U, (4.10)
или, что то же самое:
F = − grad U,
Векторное соотношение (4.10) эквивалентно трём скалярным:
.
(4.11)
Соотношения (4.10), или (4.11) и решают поставленную обратную задачу: они позволяют вычислять силу, действующую на частицу, если известно распределение её потенциальной энергии U(х, у, z).
Пример.
Энергия упругой деформации пружины
(или стержня) U
=
.
Тогда действующая
на неё (или на него) сила Fx
=
=
−kx.
Это закон Гука.
5. Законы сохранения импульса и энергии системы частиц
5.1. О законах сохранения
В механике части приходится исследовать поведение некоторой группы частиц. Группа может состоять, например, из двух шариков; или из девяти планет и Солнца. Но в ней может быть и очень большое число частиц, например, 1023 атомов газа.
Группу частиц, каким-либо образом взаимодействующих между собой, называют системой частиц. Термин «взаимодействие» означает либо удар, т. е. непосредственный контакт двух частиц, либо притяжение или отталкивание частиц в силовом поле друг друга.
Для описания поведения системы частиц в принципе достаточно только второго и третьего законов Ньютона и задания начальных условий для каждой частицы, т. е. начальных положений и скоростей каждой частицы. Однако при большом числе частиц это практически оказывается невозможным: число уравнений при этом будет безнадёжно велико.
Но оказывается, что существуют некоторые общие принципы, которые позволяют предсказывать поведение системы при различных условиях. Такие принципы называются законами сохранения. Они утверждают, что при определённых условиях в любой группе взаимодействующих частиц остаются неизменными три величины: суммарная энергия, суммарный импульс и суммарный момент импульса всех частиц.
Для чисто механических систем законы сохранения являются следствием законов Ньютона. Но оказывается, что они справедливы и для любых процессов в природе – тепловых, электромагнитных и квантовых (атомных и ядерных), где законы Ньютона, вообще говоря, не работают. Поэтому законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются независимыми фундаментальными законами природы, подтверждёнными всей совокупностью экспериментальных наблюдений, и теоретически не выводятся. Не обнаружено ни одного явления в природе, где бы эти законы нарушались. Поэтому если окажется, что какой-либо гипотетический процесс противоречит законам сохранения, то он невозможен. Либо же мы в нём чего-то не учли.
Часто ответы на многие задачи физики можно получить, не решая уравнений движения, а только на основе законов сохранения, причём иногда это единственный путь решения, так как силы взаимодействия бывают просто неизвестны.