10. Вынужденные колебания

10.1. Уравнение вынужденных колебаний

Рассмотрим реальную колебательную систему – пружинный маятник. Свободные колебания груза описываются уравнением (9.10):

,

где: β = r/(2m) – коэффициент затухания,

− собственная частота,

r – сопротивление среды,

m – масса груза,

k – жёсткость пружины.

И пусть на шарик начинает действовать внешняя периодическая сила

F (t)= F₀ cos ωt, (10.1)

где ω – частота этого воздействия, F₀ - амплитуда силы. Частота ω внешней силы может принимать произвольные значения, никак не связана с собственной частотой ω₀, которая является параметром самой колебательной системы. Внешней силой (10.1) может быть, например, воздушный поток. Тогда уравнение движения груза (второй закон Ньютона) будет иметь вид:

m = ∑F_x = F_{тр. х} + F_{упр. х} + F_{внеш. х} = −r − kx + F₀ cos ωt

или:

m + r + kx = F₀ cos ωt,

или, как и в разд (9.8),

. (10.2)

У равнение (10.2) называется уравнением вынужденных колебаний груза. Без специальных методов процедура решения уравнения (10.2) весьма громоздка, и ею мы заниматься не будем.

Если груз начинает движение под действием силы (10.1) из состояния покоя, то сначала он раскачиваться и его амплитуда Х будет расти. Этот этап «раскачки» называется переходным процессом (рис. 10.1). Затем амплитуда колебаний устанавливается определённой величины, зависящей от параметров системы r, m, k и от частоты ω и амплитуды F₀ внешней силы. Наступает установившийся синусоидальный процесс вынужденных колебаний:

х(t) = Х sin(ωt + φ),

где Х = Х(ω, F₀, m, r, k) – амплитуда установившихся колебаний, φ − начальная фаза.

Замечание 1. Частота вынужденных колебаний ω всегда устанавливается равной частоте внешней силы, какова бы ни была собственная частота ω₀.

Замечание 2. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, экспоненциально приближаясь к установившемуся, но реально полагают, что он практически заканчивается за время порядка 3τ, где τ = 1/β – время релаксации (разд. 9.8), когда амплитуда Х достигает примерно 95% от своего установившегося значения при t →∞ (рис. 10.1).

10.2. Амплитудно-частотная характеристика. Резонанс

При заданных параметрах m, k и r колебательной системы и среды амплитуда установившихся колебаний Х зависит от частоты ω внешней силы.

О пределение. Зависимость Х(ω) называется амплитудно-частотной характеристикой колебательной системы.

Формула зависимости Х(ω) достаточно сложна. Графический вид этой зависимости показан на рис. 10.2. На этом рисунке Х(0) – это отклонения груза под действием постоянной силы F₀. При частоте внешнего воздействия ω→∞ отклонение груза стремится к нулю. При частоте ω = ω₀ амплитуда колебаний достигает максимума и в Q раз превышает значение Х(0), где Q – добротность колебательной системы. Это явление называется резонансом в колебательной системе, а соответствующая частота ω = ω₀ называется резонансной (ω_рез).

При резонансе амплитуда колебаний может достигать очень больших значений, что может привести к разрушению колебательной системы. Так например, при добротности Q = 100 постоянная сила, дающая смещение в колебательной системе всего на 1 мм, при резонансе приведёт к смещению в 100 мм. Поэтому резонанс в механических системах (мостах, машинах, высоких мачтах и других конструкциях) весьма опасен и его стараются избегать различными методами. Иногда резонанс можно наблюдать в дрожании оконных стёкол, когда недалеко от дома проезжает какая-нибудь тяжёлая машина и в ней частота работающего двигателя совпадает с резонансной частотой оконного стекла.