5.2. Закон сохранения импульса системы частиц

Определение. Импульсом системы частиц называется векторная сумма импульсов отдельных частиц:

р = ∑ р_i .

Поскольку при взаимодействии каждой пары частиц внутри системы силы взаимодействия равны и противоположны по направлению, то эти внутренние силы не могут изменить импульса системы. Импульс системы может измениться только под действие какой-то внешней силы F, причём, как и для одной частицы, скорость изменения импульса системы равна этой внешней силе (или векторной сумме всех внешних сил):

∑ F_внеш.≡ F.

Определение. Система частиц называется изолированной, если на неё не действуют никакие внешние силы, т. е. F = 0. В этом случае импульс системы не меняется: р = const. Это утверждение носит название закона сохранения импульса системы частиц.

5.3. Закон сохранения механической энергии системы частиц

Если в изолированной системе действуют только консервативные силы, т. е. нет, например, трения, приводящего к тепловым потерям, то полная механическая энергия этой системы остаётся постоянной:

Е = ∑(T_i + U_i) = const (без доказательства).

Это утверждение носит название закона сохранения энергии системы частиц.

5.4. Столкновение двух тел (удар)

При столкновении двух тел (ударе) они испытывают деформацию, и их кинетическая энергия частично или полностью переходит в энергию их упругой деформации, а также рассеивается в виде тепла и уносится звуком. Упругая энергия приводит к отскоку тел, т. е. вновь превращается в их кинетическую энергию, тепловая же и звуковая энергии, выражаемые в нагревании тел, необратимы.

Различают два основных типа ударов: абсолютно неупругий и абсолютно упругий.

5.4.1. Абсолютно неупругий удар

Э то такой удар, после которого оба тела движутся как единое целое. При этом упругой деформации не возникает или же она очень мала и не приводит к отскоку, а кинетическая энергия тел частично или полностью превращается в тепловую. Поэтому при абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не выполняется, а выполняется только закон сохранения импульса:

m₁ υ₁ + m₂ υ₂ = (m₁ + m₂)u,

где m₁ и m₂ – массы тел, υ₁ и υ₂ − их скорости до удара, u – их общая скорость после удара (рис. 5.1). Отсюда

u = . (5.1)

Если векторы υ₁ и υ₂ лежат на одной оси (оси х), то в (5.1) следует подставлять только х-компоненты всех скоростей (с учётом их знаков, разумеется).

Замечание. После удара единое тело может ещё и вращаться, так что следовало бы добавить и закон сохранения момента импульса, позволяющий определить скорость вращения, но этот вариант рассматривать не будем.

Пример. Два шарика летят навстречу друг другу по оси х и происходит их прямой удар. Массы шариков m₁ = 1 кг, m₂ = 2 кг, их скорости υ₁ = 1 м/с (вправо), υ₂ = 2 м/с (влево). Найти их единую скорость шаров u_x после их абсолютно неупругого удара.

Решение. Для х-компонент скоростей: u = = −1 м/с.

5.4.2. Абсолютно упругий удар

Это такой удар, при котором кинетическая энергия сталкивающихся тел частично или полностью (т. е. без тепловых потерь) переходит в энергию их упругой деформации, а затем вновь возвращается в кинетическую энергию разлетающихся тел. При этом оба тела полностью восстанавливают свою форму. При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения как импульса, так и механической энергии.

Определить скорости тел после абсолютно упругого удара значительно сложнее, чем после абсолютно неупругого. Направления и скорости разлёта зависят от конкретной формы тал и от их взаимной ориентации при ударе. Кроме того, в результате удара они могут вращаться.

Рассмотрим подробно простейший вариант абсолютно упругого удара – прямой удар двух шаров. Удар называется прямым, если векторы их начальных скоростей υ₁ и υ₂ лежат на линии их центров. В противном случае удар называется косым (рис. 5.2). При косом ударе шары разлетаются под углом к исходным векторам υ₁ и υ₂. При прямом ударе шаров процесс происходит вдоль оси, соединяющей их центры (оси х), поэтому закон сохранения импульса можно записать в алгебраическом виде, т. е. только для х-компонент всех скоростей.

Итак, запишем законы сохранения импульса (для х-компонент) и энергии при прямом абсолютно упругом ударе двух шаров:

(5.2)

где υ₁ и υ₂ – х-компоненты скоростей шаров до удара, u₁ и u₂ – соответственно после удара, m₁ и m₂ – массы шаров. Пусть скорости υ₁ и υ₂, а также массы шаров – известны. Определим скорости u₁ и u₂ после удара. Для этого надо решить систему (5.2). Перегруппируем уравнения этой системы:

Разделим второе уравнение этой системы на первое и результат запишем совместно с первым:

Получилась система двух уравнений первой степени. Её решение имеет вид:

u₁= , u₂= .

При m₁ = m₂ , то u₁ = υ₂, u₂= υ₁, т. е. шары обмениваются скоростями.

Если m₁ = 1 кг, υ₁ = 1 м/с, m₂ = 2 кг, υ₂ = –2 м/с, то скорости разлёта шаров будут такими: u₁= –3 м/с; u₂ =0, т. е. первый шар полетит назад со скоростью 3 м/с, а второй шар после удара остановится.