7. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси

7.1 Момент инерции твёрдого тела

П усть твёрдое тело массой m и объёмом V может вращаться вокруг неподвижной оси, причём ось вращения не обязательно проходит через само тело. Разобъём тело на малые элементы Δm_k , и пусть r_k – расстояние элемента Δm_k до оси вращения (рис. 7.1).

Определение. Моментом инерции I твёрдого тела относительно заданной оси называется предельная сумма моментов инерции всех его частиц относительно этой оси:

, (7.1)

где ρ = ρ(x, y, z) = dm/dV − плотность тела на элементе dm. Для однородного тела ρ = const, и тогда момент инерции

. (7.2)

Из определения (7.1) следует свойство аддитивности момента инерции: момент инерции твёрдого тела относительно любой оси равен сумме мометов инерции всех его частей относительно этой оси:

I = ∑ I_k,

какими бы ни были эти части.

П ример 1. Найти момент инерции тонкого кольца радиусом R, массой m относительно его оси.

Решение. Разобъём кольцо на малые элементы Δm_k (рис. 7.2). Расстояния каждого из них до оси одинаковы: r_k =R. Тогда, из определения (7.1), момент инерции кольца равен сумме моментов инерции его элементов:

.

Таким образом, момент инерции тонкого кольца I = mR².

Пример 2. Найти момент инерции однородного диска радиусом R, массой m относительно его оси.

Решение. Разобъём диск на бесконечно узкие кольца (r, dr), и пусть dm – масса такого кольца (рис. 7.3). Согласно Примеру 1, момент инерции такого кольца dI = r² dm. Теперь проинтегрируем это выражение по всем кольцам, заполняющим диск:

,

где σ = dm/dS = m/(πR²) [кг/м²] – поверхностная плотность диска, т. е. масса единицы площади). Таким образом, момент инерции диска I = mR² /2.

Пример 3. Найти момент инерции стержня массой m, длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

Решение. Разбиваем стержень на малые элементы длиной dx, и пусть dm – масса такого элемента (рис. 7.4). Его момент инерции

d I = x² dm = x² γ dx,

где γ = dm/dх = m/l [кг/м] – погонная плотность стержня, т. е. масса единицы его длины). Интегрируя это выражение по всем элементам стержня, получаем:

I = ml³ /3.

Пример 4. Найти момент инерции шара радиусом R, массой m относительно оси, проходящей через его центр.

Р ешение. Разобъём шар на тонкие диски толщиной dx, как показано на рис. 7.5 (на этом рисунке для удобства изображена только половина шара). На высоте х радиус такого диска r = ,

его объём dV = πr² dx = π(R² – x²)dx, масса dm = ρdV,

где ρ = − плотность шара, V = − его объём.

Тогда, согласно Примеру 2, момент инерции такого диска

dI = .

Интегрируя теперь по всем дискам, заполняющим шар и подставляя выражение для ρ, получаем, что момент инерции шара

I = .

7.2. Теорема Штейнера

П роцедура прямого вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси по формуле (7.2) часто упрощается, если использовать теорему Штейнера.

Теорема. Момент инерции I_О твёрдого тела относительно произвольной оси О равен моменту инерции I_C этого тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 7.6):

I_O = I_C + ma²

(без доказательства).

Пример 1. Найти момент инерции тонкого кольца радиусом R, массой m относительно оси О, проходящей через его край и перпендикулярной плоскости кольца.

Решение. По теореме Штейнера, I_O = I_C + mR² = 2 mR².

Пример 2. Найти момент инерции стержня массой m, длиной l относительно оси О, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину.

Решение. Так как момент инерции стержня относительно оси О, проходящей через его конец, I_О = ml³ /3, то

I_C = I_O – m(l/2)² = ml³ /3 − ml² /4 = ml² /12.