7.3. Уравнение вращения твёрдого тела

Как было показано в разд. 6, момент импульса частицы (дадим ей номер k) относительно произвольной оси

L_k = I_k ω_k. (7.3)

Всякое твёрдое тело, вращающееся вокруг фиксированной оси с угловой скоростью ω, можно рассматривать как систему частиц, вращающихся вокруг этой оси с той же угловой скоростью. Если просуммировать (7.3) по всем частицам, из которых состоит тело, и учесть, что векторная сумма моментов импульсов частиц даёт момент импульса всего тела, а сумма их моментов инерции даёт момент инерции тела, то для вращающегося тела можно записать выражение, аналогичное (7.3):

L = I ω.

Но, согласно тому же разд. 6, скорость изменения момента импульса системы частиц равна моменту внешних сил относительно оси вращения. Следовательно, для вращающегося твёрдого тела справедливо уравнение:

,

или

,

которое называется уравнением вращения твёрдого тела.

Пример. На шкив (диск) массой m₀, радиусом R, способный вращаться без трения, намотана нить, а к ней привязан груз массой m, который опускается под действие силы тяжести (рис. 7.7). Определить ускорение а груза.

Р ешение. На груз действуют сила тяжести mg и сила натяжения нити F, так что уравнение его движения вниз будет таким:

mа = mg – F.

На диск действует момент М = FR, так что уравнение его вращения будет таким:

Iε = FR,

где I = m₀ R² − момент инерции диска, ε = dω/dt – его угловое ускорение. Угловое ускорение диска связано с линейным ускорением груза кинематическим соотношением:

а = εR.

Решая систему этих трёх уравнений, получаем:

а = .

7.4. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела

Пусть твёрлдое тело вращается вокруг оси с угловой скоростью ω и имеет относительно этой оси момент инерции I. Тогда кинетическая энергия этого тела равна сумме кинетических энергий всех его частиц:

W = .

Замечание. Выражения и аналогичны.

Е сли тело вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр масс, а сам центр масс движется со скоростью υ_С (рис. 7.8), то кинетическая энергия такого тела

(без доказательства).

Пример. Найти скорость кольца после его скатывания (без проскальзывания) с горки высотой h.

Решение. По закону сохранения энергии, mgh = mυ² /2 + I_С ω² /2.

А так как ω = υ/R, I_C = mR² , то υ = .

8. Классическая теория относительности

Предметом различных теорий относительности является связь между величинами и физическими законами в системах отсчёта, движущихся относительно друг друга. Классическая теория относительности основа на постулате Галилея об эквивалентности всех инерциальных систем отсчёта и на законах Ньютона. Рассмотрим преобразования механических величин при переходе сначала из одной инерциальной системы отсчёт в другую, а затем к различным неинерциальным системам.

8.1. Инерциальные системы отсчёта. Преобразования Галилея

Определение. Система отсчёта называется инерциальной, если частица, не подверженная воздействию других тел, находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.

Установим формулы преобразования координат и скоростей при переходе из одной инерциальной системы в другую.

П усть система (x, y, z) является условно неподвижной, а система (x', y', z') движется относительно неё с постоянной скоростью υ₀, т. е. она также является инерциальной. Для определённости, направим оси x', y', z' параллельно осям x, y, z (рис. 8.1). И пусть в момент t = 0 начала координат О и О' совпадают. Из рис. 8.1 видно, что координаты точки М в системах (x, y, z) и (x', y', z') связаны соотношением:

r = r' + υ₀t. (8.1)

Дифференцируя это выражение по t, получаем формулу преобразования скоростей:

υ = υ' + υ₀. (8.2)

Кроме того, в обеих системах время течёт одинаково:

t = t'. (8.3)

Преобразования координат, скоростей и времени (8.1)−(8.3) и называются преобразованиями Галилея. Обратные преобразования имеют вид:

r' = r − υ₀t,

υ' = υ − υ₀,

t' = t.