9.4. Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. Хорошим приближением к математическому маятнику является небольшой тяжёлый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

И так, пусть шарик массой m подвешен на нити длиной l. Выведем его из равновесия и отпустим. Он начнёт качаться. Составим уравнение его движения и покажем. что оно совпадает с уравнением колебаний (9.1). Но это будет так лишь при условии, что колебания маятника будут малыми. Термин «малые» означает, что максимальное смещение Х шарика от положения равновесия (амплитуда колебаний) будет много меньше длины нити: Х << l (рис. 9.4). А это значит, что максимальный угол отклонения нити α_max<< 1, так как при небольших отклонениях sin α ≈ tg α ≈ α ≈ x/l.

Замечание. В выражении α_max<< 1 угол α, конечно же, надо брать в радианах, т. е. α << 1 рад, т. е. α << 57º, т. е. α ≤ 5º. Таким образом, малым следует считать отклонение, не превышающее 5-6º.

Из рис. 9.4 видно, что при малых отклонениях шарика возвращающая сила F = mg sin α ≈ mg(x/l). А так как эта сила направлена против смещения х, то в проекции на ось х следует записать:

F_х = −mg(x/l).

Тогда, по второму закону Ньютона,

ma_x = − ,

или:

.

Видно, что это уравнение совпадает с (9.1), если обозначить , т. е. шарик будет совершать синусоидальные колебания, описываемые функцией (9.3), и период этих колебаний

(9.8)

не зависит от массы шарика, а только от длины нити и ускорения свободного падания g в данном месте Земли.

Коэффициенты А и В в общем решении (9.3) определяются из начальных условий, т. е. из способа возбуждения колебаний шарика: либо шарик отклонили на величину Х и отпустили (тогда х(0) = Х, υ(0) = (0) = 0), либо толкнули его из положения равновесия с некоторой скоростью υ₀ (в этом случае х(0) = 0, υ(0) = (0) = υ₀). В первом случае А = 0, В= Х, и шарик будет качаться по закону

х = Х cos ωt

с периодом (9.8).

9.5. Физический маятник

Рассмотрим ещё одну колебательную систему – твёрдое тело произвольной формы, свободно качающееся на горизонтальной оси в поле тяжести. Такая система называется физическим маятником. Им может быть стержень на оси, кольцо или диск на оси, не проходящей через центр масс.

И так, пусть твёрдое тело подвешено на горизонтальной оси О (рис. 9.5). Как и для математического маятника, колебания будем считать малыми, т. е. угол отклонения α << 1 рад (57º), т. е. sin α ≈ α.

Поскольку здесь мы имеем движение твёрдого тела с закреплённой осью, то это будет вращательное движение и его следует описывать уравнением вращения:

I = I = M,

где I – момент инерции тела относительно оси вращения О, М – момент силы относительно этой же оси О, − угловое ускорение тела. Из рис. 9.5 видно, что момент силы М = Fl = mgl sin α ≈ mgl α. Но так как этот момент является возвращающим, т. е. он действует на тело против направления отклонения α, то следует записать:

М = −mgl α.

И тогда уравнение вращения тела примет вид:

+ ω² α =0,

где обозначено: ω² = mgl / I. Видно, что это уравнение совпадает с (9.1), т. е. тело будет совершать синусоидальные колебания, описываемые функцией (9.3), и период этих колебаний

(9.9)

Если колебания физического маятника возбуждать, отклоняя тело на некоторый угол α₀ и затем отпуская его, то, как и ранее, несложно показать, что они будут проходить по закону:

α = α₀ cos ωt

с периодом (9.9).

П ример 1. Найти период колебаний кольца радиусом R = 10 см, подвешенного на гвозде. Колебания происходят в плоскости кольца (рис. 9.6).

Решение. Момент инерции кольца относительно точки подвеса О определяем из теоремы Штейнера: I_О = I_C + mR² = 2mR². Следовательно,

≈ 0,9 с.

Пример 2. Найти период колебаний стержня длиной а = 20 см, шарнирно закреплённого на верхнем конце.

Решение. Момент инерции стержня относительно точки подвеса I = mа²/3. Расстояние между точкой подвеса и центром масс l = а/2. Следовательно,

≈ 0,73 с.