9. Свободные синусоидальные колебания

9.1. Понятие колебаний

Колебания – это периодический процесс, в котором значения какой-либо величины х точно или приближённо повторяются через равные промежутки времени Т, называемые периодом колебаний.

Существует много видов колебаний, например:

− релаксационные (рис. 9.1, а),

− пилообразные (рис. 9.1, б),

− синусоидальные (гармонические) незатухающие (рис. 9.1, в),

− синусоидальные затухающие (рис. 9.1, г).

Среди различных видов колебаний наиболее часто встречаются синусо-идальные (гармонические), описываемые функциями синуса или косинуса. По закону, близкому к синусоидальному, происходят колебания, например, в следующих механических системах:

а) шарик на зажатой с одного конца пружине (пружинный маятник),

б) шарик на нити (математический маятник),

в) любое твёрдое тело, которое может качаться в однородном поле тяжести на неподвижной горизонтальной оси (физический маятник),

г) натянутая струна,

д) столбики жидкости в U-образной трубке

Колебания называются свободными, если они происходят в первоначально выведенной из равновесия системе без дальнейшего поступления в нее энергии от внешних источников. Если же колебания в системе поддерживаются периодическим поступлением в нее энергии извне, то они называются вынужденными. Свободные колебания реальных механических (и электрических) систем всегда являются затухающими, т. е. с убывающей до нуля амплитудой. При этом первоначально запасенная колебательной системой энергия в конечном итоге превращается в тепло. Однако сначала для простоты удобно сначала рассмотреть идеализированный процесс незатухающих свободных колебаний, когда в системе отсутствует трение, приводящее к потерям (диссипации) энергии и убыванию амплитуды.

9.2. Уравнение свободных синусоидальных колебаний

Определение. Дифференциальное уравнение второго порядка вида

, (9.1)

г де символом обозначена вторая производная по времени: , называется уравнением свободных незатухающих синусоидальных (гармонических) колебаний. В этом уравнении х = х(t) – текущее смещение колеблющейся точки от положения равновесия, ω – параметр, называемый собственной частотой колебательной системы.

Уравнение (9.1) называется так потому, что его общим решением является функция

x(t) = X sin(ωt + φ), (9.2)

описывающая синусоидальный колебательный процесс с угловой частотой ω и амплитудой Х. Период таких колебаний Т = 2π/ω (рис. 9.1). Амплитуда Х – это максимальное отклонение от положения равновесия. Выражение (ωt + φ), стоящее под знаком синуса, называется фазой колебаний, а угловой параметр φ – начальной фазой. Угловая частота ω имеет размерность «рад/с». Прямой подстановкой легко проверить, что функция (9.2) действительно является общим решением уравнения (9.1), т. е. обращает его в тождество.

Значения параметров Х и φ в решении (9.2) определяются из начальных условий, т. е. из конкретного способа возбуждения колебаний. Эти конкретные способы будут рассмотрены в разделах 9.2 и 9.3.

Однако в дальнейшем общее решение уравнения (9.1) удобно представлять не в виде (9.2) а таком:

x(t) = А sin ωt +В cos ωt. (9.3)

Коэффициенты А и В здесь легко пересчитываются через Х и φ по известной формуле синуса суммы.

Если окажется, что движение какого-либо тела описывается дифференциальным уравнением вида (9.1), то это движение будет представлять собой синусоидальные колебания.

Простейшими идеализированными механическими колебательными системами, в которых могут происходить незатухающие колебания, являются маятники: пружинный, математический и физический. Рассмотрим эти три вида маятников по отдельности.