4.4. Мощность

Одна и та же работа может быть совершена за разное время. Для характеристики скорости совершения данной работы вводится понятие мощности.

Определение. Пусть сила F совершила работу А за время Δt. Тогда величина Р = А/Δt называется мощностью, развиваемой силой F на данном интервале времени.

Так как работа А = F·Δl, то мощность можно представить в виде: Р = F·υ, где υ − скорость тела в данный момент.

В системе СИ мощность измеряется в ваттах: 1 Вт = .

4.5. Потенциальное поле

И так, если в силовом поле F(х, у, z) частица перемещается из точки 1 в 2, то это поле совершает работу

А₁₋₂ = . (4.2)

В общем случае работа (4.2) зависит от формы кривой 1-2, т. е. по разным траекториям она будет разной: А_1-2^(I) ≠ А_1-2^(II) (рис. 4.6). Однако, существуют силовые поля, в которых работа (4.2) не зависит от формы пути, а определяется только положениями исходной и конечной точек. Такие поля называются потенциальными.

П окажем, что гравитационное поле точечной (или шаровой) массы М является потенциальным. Для этого вычислим работу такого поля от точки 1 до 2 по произвольной кривой 1-2 (рис.4.7):

А₁₋₂ = .

Но: dl cos α = −dr, . Следовательно,

А₁₋₂ = GMm .

Отсюда видно, что работа поля F не зависит от формы пути 1−2, а определяется только координатами точек 1 и 2, а именно только от их расстояний r₁ и r₂ до центра звезды М. Следовательно, гравитационное поле F(х, у, z) является потенциальным.

Несложно показать, что однородное поле также является потенциальным.

Следствие. Работа потенциального поля по любой замкнутой траектории (т. е. по контуру) равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим рис. 4.6. Две траектории на нём I и II образуют замкнутую кривую. По определению потенциального поля, работы по этим траекториям от точки 1 до 2 одинаковы: А_1-2^(I) = А_1-2^(II). А так как при смене направления интегрирования работа меняет знак, то А_2-1^(II)= − А_1-2^(II). Следовательно, А_1-2^(I) + А_2-1^(II) = 0. А это и есть работа по замкнутой траектории, т. е. по контуру.

4.6. Потенциальная энергия частицы в силовом поле

Важнейшим свойством потенциального силового поля F(х, у, z) является существование для него некоторой скалярной функции U(х, у, z), называемой потенциальной энергией частицы в этом поле.

Выберем в потенциальном поле фиксированную точку М₀ и назовём её базовой. И пусть М(х, у, z) − другая, «переменная» точка в этом поле. В силу потенциальности поля F(х, у, z), его работа от точки М до базовой М₀ не зависит от формы траектории ММ₀ , а только от координат точки М (рис. 4.8):

.

Эта скалярная функция f называется потенциальной энергией частицы в силовом поле F(х, у, z) относительно выбранной базовой точки М₀ и обозначается символом U:

. (4.3)

Формула (4.3) является определением потенциальной энергии частицы в точке М поля F(х, у, z).

Таким образом, потенциальная энергия частицы в точке М относительно выбранной базовой точки М₀ − это работа поля F(х, у, z) по перемещению частицы из этой точки М в базовую по любому пути.

Из формулы (4.3) видно, что потенциальная энергия частицы является величиной относительной, зависящей от выбора базовой точки М₀ , поэтому при вычислении потенциальной энергии выбор базовой точки всегда оговаривается. Например, при вычислении потенциальной энергии частицы в однородном поле тяжести Земли базовая точка берётся на поверхности Земли. Если вычисляется потенциальная энергия частицы в поле одной или нескольких планет или звёзд, то принимается, что базовая точка М₀ находится в бесконечности.

Замечание. При вычислении потенциальной энергии вместо термина «работа поля» иногда удобнее пользоваться термином «работа внешней силы». Тогда потенциальная энергия частицы в точке М будет определяться как работа внешней силы F_внеш. (мы работаем!) по перемещению частицы в точку М из базовой точки М₀:

.

Пример 1. Вычислить потенциальную энергию частицы массой m на высоте h над поверхностью Земли.

Р ешение. Так как здесь потенциальная энергия вычисляется относительно поверхности Земли, то и базовую точку М₀ следует брать на поверхности, а точку М − в любом месте на высоте h (рис. 4.9). Поскольку работа гравитационного поля F не зависит от формы пути, то выберем этот путь наиболее простым: ММ₀ = М О + ОМ₀ , как показано на рис. 4.9. Работа на участке ОМ₀ равна нулю, так как здесь мы движемся перпендикулярно силовым линиям поля F, а работа внешней силы на участке МО:

А_ОМ = = mgh.

Итак, искомая потенциальная энергия U = mgh.

Пример 2. Вычислить потенциальную энергию планеты массой m на расстоянии r от Солнца. Масса Солнца .

Р ешение. В астрономических системах потенциальную энергию тела принято вычислять относительно бесконечно удаленной точки М₀ . В этом случае, выполняя проход по радиусу от точки М (т. е. от радиуса r) до бесконечности (рис. 4.10) и учитывая, что при этом dl ↑↓ F, получаем:

.

Таким образом, потенциальная энергия планеты в гравитационном поле звезды всегда отрицательна.