8.2. Поступательно движущаяся неинерциальная система. Сила инерции

Определение. Система отсчёта, движущаяся с ускорением или вращающаяся относительно инерциальной, называется неинерциальной.

Рассмотрим систему отсчёта (x', y', z'), движущуюся поступательно с постоянным ускорением а₀ относительно инерциальной системы (x, y, z),

Координаты произвольной точки М в системах (x, y, z) и (x', y', z') связаны соотношением (рис. 8.2):

r = r' + r₀.

Д ифференцируя это выражение по t, получаем формулу преобразования скоростей:

υ = υ' + υ₀.

Дифференцируя по t ещё раз, получим формулу преобразования ускорений:

а = а' + а₀.

Пусть на частицу М в системе (x, y, z) не действуют никакие силы. Тогда, согласно второму закону Ньютона, в инерциальной системе (x, y, z) её ускорение а = 0. Но тогда в неинерциальной системе (x', y', z') её ускорение

а ' = −а_0,

или

mа' = −mа_0,

т. е. в неинерциальной системе (x', y', z') частица имеет такое ускорение, как будто на неё в этой системе действует некая сила

F_ин = −mа₀ (рис. 8.3), которая называется силой инерции:

mа' = F_ин.

Сила инерции – это псевдосила в том смысле, что она не имеет источника. Она появляется только в неинерциальных системах, всегда пропорциональна массе тела и направлена против ускорения а₀ системы (x', y', z').

Если на частицу действует какая-то «истинная» сила F, то в инерциальной системе (x, y, z) уравнение движения частицы будет таким:

mа = F,

а в неинерциальной системе (x', y', z') оно примет вид:

mа' = mа −mа₀ = F + F_ин.

8.3. Силы инерции в равномерно вращающейся системе

Всякая вращающаяся система является неинерциальной. Примером равномерно вращающейся системы является Земля. Или обычная карусель. Типичными силами инерции во вращающихся системах являются центробежная сила и сила Кориолиса.

Пусть система (x', y', z') вращается в неподвижной системе (x, y, z) вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω. И пусть в системе (x', y', z') частица движется с относительной скоростью υ'. Если в системе, поступательно движущейся с ускорением а₀, сила инерции F_ин = −mа₀, то в равномерно вращающейся системе

F_ин = F_ц.б + F_кор,

где

F_ц.б = −ma_ц.с = mω²r

– центробежная сила,

F_кор = −ma_кор = 2m(υ' ω)

– сила Кориолиса (без доказательства).

Центробежная сила вызвана центростремительным ускорение а_ц.с, направленным к центру вращения и связанным с изменением вектора абсолютной скорости υ по направлению вследствие вращения системы (x', y', z'). Сила F_ц.б прижимает тело к периферии вращающейся системы (F_ц.б↑↑ r), не зависит от относительной скорости υ', а только от расстояния r до оси и от модуля угловой скорости ω.

К ориолисова сила F_кор зависит от относительной скорости тела υ' и перпендикулярна ей. Она связана с тем, что при движении частицы во вращающейся системе абсолютная скорость частицы υ изменяется по величине. Пусть, например, частица m во вращающейся системе движется от центра к периферии по радиусу. Тогда её абсолютная скорость υ растёт вдоль своего направления (рис. 8.4), а значит, у неё есть ускорение а_кор, направленное перпендикулярно радиусу. Значит, появляется сила инерции F_кор = −ma_кор.

Замечание. F_ц.б и F_кор – это силы инерции, и они существуют только во вращающихся системах отсчёта. В инерциальных системах их нет.

На рис. 8.5 и 8.6 показаны качественные проявления сил F_ц.б и F_кор.

Силой Кориолиса объясняется крутизна правых берегов рек северного полушария, текущих по меридианам, а центробежной силой – образование меандров рек (рис. 8.7), а также крутизна внешнего берега на поворотах реки.