11. Релятивистская механика

В начале 20 века Альберт Эйнштейн разработал теорию, согласно которой в системах, движущихся со скоростями υ, близкими к скорости света в вакууме с = 3·10⁸ м/с, будут наблюдаться явления, которые практически не заметны в медленно движущихся системах. Такие явления, или эффекты называются релятивистских, а скорости υ, соизмеримые со скоростью света – релятивистскими скоростями. Сама теория Эйнштейна получила название теории относительности, или релятивистской механики. Основой для этой теории послужили работы Лоренца и Пуанкаре, а также опыт Майкельсона (1881 г.), показавший, что скорость света в вакууме одинакова в любой инерциальной системе отсчёта.

Основные положения и результаты специальной теории относительности состоят в следующем.

11.1. Постулаты теории относительности

Постулат 1 (принцип относительности). Все инерциальные системы отсчёта эквивалентны друг другу. Это означает, что все процессы протекают одинаково в любой инерциальной системе отсчёта, и все законы физики в них одинаковы.

Постулат 2. Скорость света в вакууме с одинакова в любой инерциальной системе отсчёта. Она не зависит ни от скорости источника светового сигнала, ни от скорости самой системы и всегда равна 3·10⁸ м/с.

11.2. Связь между массой и энергией

При релятивистских скоростях тела его энергия выражается уже не классической формулой

.

а релятивистской:

, где . (11.1)

Величина m₀ называется массой покоя тела, а произведение m₀с² − энергией покоя тела. Таким образом, тело обладает энергией уже в силу своего существования. Эта энергия может быть выделена в виде излучения, например, при аннигиляции пары «электрон-позитрон»:

е⁺ + е⁻ → 2γ.

Энергия покоя и в других реакциях может частично или полностью переходить в электромагнитную энергию излучения или в кинетическую энергию других частиц. Так например, в происходящей на Солнце реакции синтеза ядер гелия из протонов и нейтронов масса ядра гелия меньше суммарной массы составляющих его частиц:

m_He < 2m_p + 2m_n.

При такой реакции синтеза выделяется энергия излучения Е = Δmc², где

Δm = 2m_p + 2m_n − m_He. В результате масса Солнца уменьшается на 5 млн. тонн каждую секунду.

Энергия покоя велика. Так например, при полной аннигиляции 1 г вещества выделяется такая же энергия, как при сгорании 2000 тонн нефти.

Вещество	Теплота «сгорания», Дж/кг
mс2 Ядерное топливо (U, Pu) Природный газ Нефть Уголь Тротил	1017 1014 4·107 3·107 2·107 4·106

Из таблицы видно, что даже в ядерных реакторах используемая энергия топлива (урана или плутония) составляет лишь 1/1000 полной энергии, заключённой в его веществе (в ядерной бомбе примерно столько же). Из таблицы также легко подсчитать, что при аннигиляции 1 г вещества выделяется столько же энергии, сколько при взрыве бомбы в 25 килотонн тротила.

Итак, масса покоя не является сохраняющейся величиной.

Величина − это релятивистская масса тела.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Из (11.1) видно, что при υ→с энергия тела Е→∞. Поэтому для любого тела, у которого m₀ ≠ 0, скорость света недостижима, хотя к ней можно приблизиться сколь угодно близко. Со скоростью света всегда движутся частицы, у которых масса покоя m₀ = 0 (фотоны и, возможно, нейтрино).

При υ ≪ с полная энергия тела (11.1) разделяется на сумму энергии покоя и кинетической энергии в классическом смысле. Действительно, при β ≪ 1 по формуле разложения в ряд бинома Ньютона имеем:

.

И тогда из (11.1) получаем:

.

Замечание. Если энергия частицы Е > 2m₀с², то частица называется ультрарелятивистской. Из формулы (11.1) легко подсчитать, что к ультрарелятивистским относятся частицы, скорость которых υ > 0,9с.

Пример 1. Известно, что интенсивность солнечного излучения на расстояния орбиты Земли (R_орб = 150 млн км) I = 1,4 кВт/м². Оценить уменьшение массы Солнца за секунду.

Ответ. Δm = 4,4·10⁹ кг = 4,4 млн тонн.

Решение. Е =Δmc². Энергия, излучаемая Солнцем за секунду Е = I 4πR² . Следовательно, потеря массы за секунду Δm = Е/с² ≈ 4,4 млн тонн.

Пример 2. На сколько увеличится масса волчка (диска радиусом R = 10 см), если его раскрутить до скорости f = 1000 об/с (это примерный предел разрыва сверхпрочной стали) ?

Ответ. На 10⁻¹².

Решение. Пусть σ = m₀ /(πR²) кг/м² − поверхностная плотность диска, где m₀ − его масса покоя. Разбивая диск на узкие кольца (r, dr), получаем для массы кольца:

.

Так как (ωr/c) << 1, то

.

И тогда масса кольца в первом приближении

dm = 2πσrdr + πσr³ (ω/c)² dr.

Интегрируя от нуля до R, получаем для массы всего диска:

m = m₀ /

Подставляя числовые значения, получаем, что масса вращающегося волчка

m ≈ m₀ (1+ 10⁻¹²).