6.1. Определения

6.1.1. Момент импульса частицы

П усть в некоторой системе координат с началом в точке О движется частица. Её мгновенное положение задаётся радиусом-вектором r, а движение – импульсом р = mυ (рис. 6.1).

Определение. Векторная величина

L = r p = mr υ (6.1)

называется моментом импульса частицы относительно выбранного центра О.

Из определения (6.1) следует, что вектор L перпендикулярен векторам r и p, а по модулю L = m υ r sin α.

6.1.2. Вектор угловой скорости

Р ассмотрим вариант движения частицы по окружности радиусом r с угловой скоростью ω. Абсолютные значения её угловой и линейной скоростей связаны соотношением: υ = ωr. Однако, их удобнее связывать в векторной форме, приняв, что ω – это вектор длиной ω и направленный вдоль оси по правому винту относительно вращения частицы (рис. 6.2). Тогда можно записать:

υ = ω r.

В этом случае момент импульса (6.1) преобразуется к виду:

L = mr υ = mr (ω r) = m(ωr² – r(ω·r)) = mr² ω,

так как скалярное произведение ω·r = 0 ввиду перпендикулярности векторов ω и r (рис. 6.2). Таким образом, момент импульса частицы

L = mr² ω. (6.2)

6.1.3. Момент инерции частицы

Определение. Пусть частица массой m может вращаться вокруг некоторой оси по окружности радиусом r. Тогда скалярная величина

I = mr²

называется моментом инерции частицы относительно этой оси.

Формула (6.2) в этом случае принимает вид:

L = Iω. (6.3)

Замечание. Величина L, I и ω в формуле (6.3) связаны таким же соотношением, как р, m и υ в формуле р = mυ.

6.1.4. Момент силы

Пусть положение частицы задано радиусом-вектором r относительно выбранного центра О. И пусть на эту частицу действует некоторая сила F.

О пределение. Векторная виличина

М = r F (6.4)

называется моментом силы F относительно выбранного центра О (рис. 6.3).

Из определения (6.4) следует, что вектор М перпендикулярен векторам r и F, а по модулю

М = rF sin α = Fh,

где h = r sin α – плечо силы F (рис. 6.3).

6.2. Уравнения движения частицы по окружности

Теорема. Скорость изменения момента импульса частицы относительно выбранного центра О равна моменту силы F относительно этого центра:

. (6.5)

Доказательство.

.

Вывод. Если момент силы М = 0, то момент импульса частицы не меняется: L = const.

Для частицы, движущейся по окружности, уравнение (6.5), с учётом (6.3), принимает вид:

, (6.6)

где − угловое ускорения частицы.

Уравнение (6.6) называется уравнением движения частицы по окружности. Оно аналогично общему уравнению движения ma = F.

6.3. Закон сохранения момента импульса системы частиц

Пусть имеется система движущихся частиц.

Определение. Моментом импульса системы частиц называется векторная сумма моментов импульса отдельных частиц:

L = ∑ L_k .

Если на эту систему не действуют внешние силы, т. е. если эта система является изолированной, то её момент импульса сохраняется неизменным:

L = ∑ L_k = const,

хотя импульсы отдельных частиц в этой системе могут меняться.

Это утверждение называется законом сохранения момента импульса системы частиц. Если же к системе приложен момент внешних сил М_внеш., то, как и для одной частицы (формула (6.5)), можно записать:

_внеш.