Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері.

Вектор түсінігі және векторларға қоладантын сызықты амалдар

Дәрістің мақсаты:

1. Түзудегі, жазықтықтағы және кеңістіктегі декарттық координаталар түсінігін беру.

2. Аналитикалық геометрияның қарапайым есептерімен таныстыру.

3. Полярлық координаталарды қарастыру.

4. Векторлар теориясының негізгі түсініктерін енгізу.

5. Теориялық мағлұматтарды есептерді шығарғанда қолдану дағдысын қалыптастыру.

Қарастыруға арналған сұрақтар тізімі:

1. Түзудегі декарттық координаталар.

2. Жазықтықтағы декарттық координаталар.

3. Кеңістіктегі декарттық координаталар.

4. Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері.

5. Полярлық координаталар.

6. Вектор түсінігі және оларға қолданылатын амалдар.

7. Векторлардың сызықты тәуелділігі.

8. Вектордың оске проекциясы.

1. Түзудегі декарттық координаталар

Оң бағыты таңдап алынған түзу ось деп аталады

Координаталар бас нүктесі және бірлік масштабы таңдап алынған ось сандық ось деп аталады.

Анықтама: Өзінің ұзындығымен және таңбасымен сипатталатын кесінді бағытталған кесінді деп аталады.

Осьтегі әрбір бағытталған кесіндіге оның сандық сипаттамасы болып табылатын - кесіндінің шамасы сәйкестендіріледі.

Анықтама: AB бағытталған кесіндінің шамасы деп, AB бағытталған кесіндінің бағыты осьтің оң бағытымен бірдей болған кездегі AB кесіндісінің ұзындығына тең оң сан аталады, ал бағытталған кесіндінің бағыты осьтің бағытына қарама-қарсы болса , кесіндінің шамасы теріс санға тең болады.

АВ – кесіндінің шамасы, - кесіндінің ұзындығы

Егер бағытталған кесіндінің басы және ұшы беттессе, онда кесінді нөлдік деп аталады. .

Ескерту: 1) нөлдік кесінді бағытты анықтамайды;

2) нөлдік кесіндінің шамасы нөлге тең.

Сөйлем: Берілген осьтегі екі бағытталған кесіндінің тең болуының қажетті және жеткілікті шарты осы кесінділердің шамаларының теңдігі болып табылады.

және - бір-біріне қарама-қарсы кесінділер.

Осьтегі A, B және C нүктелері қалай орналасса да, және кесінділерінің шамалары негізгі AB+BC=AC теңбе-теңдігі арқылы байланысқан.

К ез келген а түзуі берілсін. а түзуінде анықталған бағыт және О координаталар бас нүктесін таңдап аламыз. Бірлік масштабын көрсетеміз.

Түзу бойындағы кез келген М нүктесін қарастырамыз.

Анықтама: Түзудегі М нүктесінің x декарттық координатасы деп, бағытталған кесіндінің шамасы аталады деп белгіленеді. x=OM.

M(x) символы- М нүктесінің x коррдинатасы бар дегенді көрсетеді.

және - а түзуіндегі кез келген екі нүкте болсын.

Теорема: және нүктелері қандай болса-да, келесі теңдік әрқашан орын алады: .

Осьтегі кесіндінің шамасын табу үшін, оның ұшының координатасынан басының координатасын алу керек.

- кесіндінің ұзындығы.

2. Жазықтықтағы декарттық координаталар

Анықтама: Бір жазықтыққа тиісті және бір түзудің бойында жатпайтын O, нүктелер үштігі аффиндік координаталар жүйесі деп аталады.

Белгіленуі. . О – координаталар бас нүктесі.

Жазықтықта ортақ бас нүктесі бар және бірдей масштаб бірліктері арқылы анықталатын өзара перпендикуляр екі ось жазықтықтағы тік бұрышты декарттық координаталар жүйесін анықтайды.

Осьтердің қиылысу нүктесі – координаталар бас нүктесі, ал осьтер-координаталық осьтер деп аталады.

- абсцисса осі.

- ордината осі.

M – жазықтықтағы кез келген нүкте.

- М нүктесінің сәйкес осьтеріне проекциялары.

Анықтама: Жазықтықтағы М нүктесінің декарттық координаталары деп сәйкес және бағытталған кесінділерінің шамалары аталады.

М нүктесінің x және y декарттық координаталары сәйкесінше осы нүктенің абсциссасы және ординатасы деп аталады және М(x,y) деп белгіленеді. .

К оординаталық осьтер жазықтықты төрт ширекке бөледі. (координаталық ширектер).