2. Минор және алгебралық толықтауыштар.
n – ші ретті анықтауышты тек қасиеттерінің негізінде ғана емес, реті кіші анықтауыштарға жіктеу арқылы да болады.
Анықтама. n –ші ретті анықтауышының aij элементінің Mij миноры деп, берілген анықтауыштың осы элемент арқылы өтетін жолды және бағанды сызып тастағаннан кейін қалған анықтауыш аталады
Анықтама. n –ші ретті анықтауыштың aij элементінің Аij алгебралық толықтауышы деп, осы элементтің (-1)i+j таңбасымен алынған Мij миноры аталады
Aij = (-1)i+j Mij
Анықтама. А анықтауышының n-k жолды және n-k бағанды сызып тастау арқылы алынған к-ші ретті анықтауыш А анықтауышының k –ші ретті миноры деп аталады.
А анықтауышының элементтері оның 1-ші ретті минорлары болады.
Анықтауыштарды практикалық есептеу, анықтауыштар теориясында маңызды роль атқаратын келесі теоремаға негізделген.
Теорема.
(анықтауышты
жол (баған) элементтері бойынша жіктеу
туралы, Лаплас теоремасының дербес
жағдайы)
n-ші
анықтауыш қандай да бір жол (баған)
элементтерiнің сәйкес алгебралық
толықтауыштарына көбейтiндiлерiнiң
қосындысына тең.
(Лаплас
формуласы)
1-ші салдар.Егер n-ші ретті анықтауышта aij элементінен басқа i-ші жолдың (j-ші бағанның) барлық элементтері нөлге тең болса, онда мұндай анықтауыш осы aij элементін өзінің Aij алгебралық толықтауышына көбейткенге тең.
Бұның үлкен практикалық мәні бар: анықтауыштың қасиеттерінің көмегімен қандай да бір жолда (бағанда) біреуінен басқа барлық элементтердің орнына ноль аламыз да, салдардың негізінде n-1 ретті анықтауышқа келтіреміз.
2-ші салдар. (Жолдардың және алгебралық толықтауыштардың ортогоналдығының қасиеті). Анықтауыштың кез келген жолының (баған) элементтерi мен басқа жолдың (баған) элементтерiнiң сәйкес алгебралық толықтауыштарының көбейтiндiлерiнiң қосындысы нольге тең. ai1Aj1+ ai2Aj2+ . . . + ainAjn=0 n –ші ретті анықтауышты анықтама бойынша есептеу үшін, n көбейткіштен тұратын n! көбейтіндіні есептеу керек, демек анықтауышты есептеу тәсілдерін табу керек.
3. n-ші ретті анықтауышты есептеу әдістері.
Әр түрлі анықтауыштарға оларды анықтама бойынша есептеуден жеңілрек өрнектерге әкелетін түрлі есептеу әдістері қолданылады.
I әдіс: үшбұрышты түрге келтіру .
Сөйлем:
Анықтауыштың
бас
диагоналынан
төмен орналасқан элементтер нөлге тең
болса, онда бұл анықтауыш диагоналдық
элементтердің көбейтіндісіне тең.
II метод : жол (баған) элементтері бойынша жіктеу.
n –ші ретті анықтауышты есептеу теорема негізінде бірнеше (n-1)-ші ретті анықтауыштарды есептеуге келтіріледі.
9-шы қасиет бойынша қандай да бір жолда (бағанда) мүмкіндігінше көп нөлдік элемент аламыз да, теореманың салдарын пайдаланамыз.
Мысал. 4-ші ретті анықтауышты есептейік.
=
Берілген жағдайда 4-ші жолдың элементтерінен сәйкес үшінші жолдың элементтерін алсақ үш нөл шығарамыз:
=
Енді төртінші жол бойындағы элементтер арқылы жіктесек қосындының үш мүшесі нөлге тең болып, анықтауыш жалғыз көбейтіндіге тең болады-нөлге тең болмаған элемент өзінің алгебралық толықтауышына көбейтіледі:
=
2*(-1)2+4
=2*14=28
Алгебралық толықтауыш, анықтама бойынша, минордың (-1)i+j – ге көбейтіндісі. Бұнда минор берілген анықтауыштың төртінші жолымен үшінші бағанын сызып тастағаннан шыққан үшінші ретті анықтауыш. Оның (-1)2+4 ге көбейткені алгебралық толықтауыш болады. Үшінші ретті анықтауыш Саррюс ережесі бойынша есептеледі.
n-ші ретті анықтауышты есептеп көрейік
n=
Соңғы жолының элементтеріне бірінші жолдың элементтерін қосып, сосын сңғы жол арқылы жіктесек келесі формула шығады.
n=
=
=n(-1)n+n
= n
n-1,
мұнда
n-1,
берілген анықтауыш тұріндей n-1-ші ретті
анықтауыш.
2=
= 2, енді n-2 рет рекурренттік формуласын
қолданып табамыз:
n=n n-1 =n(n-1) n-2= n(n-1)(n-2) n-3 = … = n(n-1)(n-2) …3 2 =
= n(n-1)(n-2) …3*2 = n!
Әдебиет: 1, 45 бет.
Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:
1. Минор дегеніміз не?
2. Алгебралық толықтауыш дегеніміз не?
3.Лаплас теоремасы (элементтер бойынша жіктеу).
4. Салдар.
5. n-ші ретті анықтауыш.
6. n-ші ретті анықтауышты есептеу әдістері.
№4 дәріс
Тақырып: Матрицалар.
Матрицаларға қатысты операциялар, олардың қасиеттері.
Матрицаны транспонерлеу
Мақсаты:
Матрица түсінігін кіргізу. Матрицаға қатысты негізгі түсініктерін енгізу.
Матрицаға қатысты операциялармен таныстыру.
Қарастыруға арналған сұрақтар:
1.Матрицалар
2. Матрицаларға қатысты операциялар, олардың қасиеттері.