Тақырып: Екі вектордың скалярлық және векторлық көбейтінділері. Үш вектордың аралас көбейтіндісі

Дәрістің мақсаты:

1.Екі векторды скаляр және вектор етіп көбейтуін көрсету.

2.Үш вектордың аралас көбейтіндісі түсінігін кіргізу.

3. Теориялық мағлұматтарды есептерді шығарғанда қолдану дағдысын қалыптастыру.

Қарастыруға арналған сұрақтар тізімі:

1. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі.

2. Векторлардың векторлық көбейтіндісі.

3.Векторлардың аралас көбейтіндісі.

1. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі

Анықтама: Екі вектордың скалярлық көбейтіндісі деп, олардың ұзындықтарын осы векторлар арасындағы бұрыштың косинусына көбейткеннен шыққан сан аталады.

Скалярлық көбейтіндінің геометриялық қасиеттері.

1 Теормема: Екі вектордың ортогоналдылығының қажетті және жеткілікті шарты - олардың скалярлық көбейтіндісінің нөлге теңдігі.

2 Теорема: Егер `а және`b векторлары арасындағы бұрыш сүйір (доғал) болса, онда олардың скалярлық көбетіндісі оң (теріс)болады.

Скалярлық көбейтіндінің алгебралық қасиеттері.

1. (коммутативтілік)

2. (сандық көбейткіштің ассоциативтілігі)

3. (дистрибутивтілік)

4. Егер`а векторы нолдік болмаса .

егер`а векторы нолдік болса ,

.

Скалярлық көбейтіндіні декарттық координатада өрнектеу

Теорема: Егер`а және`b векторлары өздерінің декарттық координаталарымен берілсе, онда скалярлық көбейтінді келесі түрде болады .

1 салдар : Келесі теңдік екі вектордың ортогоналдылығының қажетті және жеткілікті шарты болып табылады:

2салдар : `а және `b векторларының арасындағы бұрыш келесі формуламен анықталады:

2. Векторлардың векторлық көбейтіндісі

Анықтама: `а,`b,`с векторлары компланар емес болсын, онда векторлардың векторлық көбейтіндісі деп, символымен белгіленетін және келесі үш шартпен анықталған вектор аталады:

1. векторлық көбейтіндінің модулі және векторларының модулін олардың арасындағы бұрыштың синусына көбейткенге тең

.

2. векторы `а және векторларының әрқайсысына перпендикуляр.

3. Векторлық көбейтіндінің бағыты оң қол ережесіне сәйкес, яғни: егер , және векторларының басы ортақ нүктеге келтірілсе, онда ортаңғы саусақ сияқты, бас бармақ, ал сұқ саусақ сияқты бағытталған.

Векторлық көбейтіндінің геометриялық қасиеттері

1 Теорема: Екі вектордың коллинеарлығының қажетті және жеткілікті шарты олардың векторлық көбейтіндісінің нөлге теңдігі болып табылады.

2 Теорема: Векторлық көбейтіндінің модулі және векторларының ортақ басымен келтіріп құрастырылған параллелограммның ауданына тең.

Векторлық көбейтіндінің алгебралық қасиеттері

1. (антикоммутативтілік)

2. .

3) [( + ) ] = [ ] + [ ];

4) Кез келген үшін [ ] = ;

Векторлық көбейтіндіні декарттық координатада өрнектеу

Теорема: Егер және векторлары өздерінің декарттық координаталарымен берілсе, яғни және болса, онда векторлық көбейтіндінің координаталары келесі түрде анықталады .

.

3. Векторлардың аралас көбейтіндісі.

Анықтама: Егер векторлар бір немесе параллель жазықтықтарда жатса, онда олар компланар векторлар деп аталады.

Анықтама: , және кез келген үш вектор берілген болсын. Егер векторы векторына векторлық түрде көбейтіліп, алынған векторы векторына скалярлы көбейтілсе, онда нәтижесінде алынған саны , және векторларының аралас көбейтіндісі деп аталады..

Векторлық көбейтіндінің геометриялық мағынасы

Теорема: аралас көбейтінді , және ортақ басына келтірілген векторлардан құрастырылған параллелепипедтің көлеміне тең, егер , , үштігі оң болса онда нәтиже оң таңбамен, кері жағдайда теріс таңбамен алынады. Егер , , векторлары компланар болса, онда мәні нолге тең.

1 салдар: Үш вектордың компланар болуының қажетті және жеткілікті шарты- олардың аралас көбейтіндісінің нөлге теңдігі.

2 салдар: Екі векторы бірдей болатын, үш вектордың аралас көбейтіндісі нөлге тең.

Аралас көбейтіндінің қасиеттері:

1. Аралас көбейтінді көбейткіштерді топтастырудан тәуелсіз:

.