Параболаның қасиеттері:
1. Параболаның (OX) симметрия осі бар. Параболаның симметрия осімен қиылысу нүктесі параболаның төбесі деп аталады.
2. Парабола OXY оң жарты жазықтықта орналасады.
3. теңдеуімен анықталған параболаның директрисасы келесі түрге ие болады:
.
К
анондық
теңдеулер:
M(x;y)-
кез келген нүктенің r
фокусы.
r
= x+
Жалпы анықтама: Конустық қима (эллипс, гипербола, парабола) деп, берілген нүктеден (F) берілген түзуге (директриса) дейінгі арақашықтықтардың қатынасы тұрақты шама болатын нүктелердің геометриялық орындары аталады.
5. Эллипс, гипербола және параболаның полярлық теңдеуі.
Эллипс, гипербола және парабола үшін полярлық теңдеу келесі түрде болады:
-мұндағы
-сызықтағы кез келген нүктенің полярлық
координаталары,
-
фокалды параметрі,
-эксцентриситет
(
эллипс үшін
,
гипербола үшін
,
парабола үшін
).
Әдебиет: 3, 144-169 бет.
Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:
Шеңбердің теңдеуі қалай анықталады?
Эллипстің анықтамасын, канондық теңдеуін беріңіз.
Эллипстің фокусының координаталарын жазыңыз.
Эллипстің эксцентриситетін және оның белгіленуінің анықтамасын беріңіз.
Эллипстің директрисасы қалай анықталады?
Гиперболаның анықтамасын, канондық теңдеуін беріңіз?
Гиперболаның қанша симметрия осі бар?
Гиперболаның қандай осін нақты деп атайды?
Гиперболаның негізгі тіктөртбұрышы деген не?
Гиперболаның эксцентриситеті деген не ?
Гиперболаның фокалды остері туралы не айта аласыз?
Гиперболаның директрисалары деген не?
Параболаның анықтамасын, канондық теңдеуін беріңіз.
Параболаның қасиеттерін беріңіз
Эллипс, гипербола және параболаның полярлық теңдеуі қалай анықталады.
№15 дәріс.
Тақырып: Екінші ретті беттер
Дәрістің мақсаты:
1. Екінші ретті беттермен танысу.
2. Теориялық мағлұматтарды есептерді шығарғанда қолдану дағдысын қалыптастыру.
Қарастырылатын сұрақтар:
1. Эллипсоид.
2. Гиперболоидтар.
3. Параболоидтар.
4. Екінші ретті конус.
5. Екінші ретті цилиндрлер.
1. Эллипсоид
Қандай-да бір декартты тікбұрышты координаталар жүйесінде келесі түрде анықталатын бет эллипсоид деп аталады.
(1)
(1) теңдеуі эллипсоидтың канондық теңдеуі деп аталады.
Эллипсоидтың формасын зерттеу.
(1) теңдеуіне
айнымалылары тек екінші дәрежеде
кіреді. Сондықтан да, егер
нүктесі эллипсоидқа тиісті болса, онда
,
,
,
,
,
,
нүктелері де эллипсоидта жатады. Демек,
эллипсоид барлық координаталық
жазықтықтарға қатысты, барлық
координаталық осьтерге қатысты
симметриялы орналасқан. Координаталар
бас нүктесі эллипсоидтың симметрия
центрі, координата осьтері – симметрия
осьтері, координаталық жазықтықтар –
симметрия жазықтықтары деп аталады.
Эллипсоидтың симметрия осьтерімен
қиылысу нүктелері эллипсоидтың төбелері
деп аталады. Эллипсоидтың алты төбесі
бар:
,
,
,
,
,
.
эллипсоидтың
теңдеуінен
екендігі шығады. Бұл эллипсоидтың
,
,
,
,
,
жазықтықтарымен шектелген тікбұрышты
параллелепипедтің ішінде орналасқандығын
көрсетеді. Параллелепипедтің әрбір
жағының эллипсоидпен ортақ тек қана
бір нүктесі бар- ол эллипсоидтың төбелері
болып табылады.
Эллипсоидтың симметрия жазықтықтарымен қималарын табамыз.
жазықтығымен
қимасы
немесе
-
жазықтығымен қимасы
немесе
-
жазықтығымен қимасы
немесе
Эллипсоидты
координаталық жазықтықтармен қиғанда
эллипстер пайда болды. Енді эллипсоидты
координаталық жазықтықтарға параллель
жазықтықтармен қиямыз.
жазықтығына параллель жазықтықпен
қимасын табамыз:
немесе
болғанда
қимада осьтері
және
осьтеріне параллель эллипс шығады;
болғанда – нүкте (эллипсоидтың төбесі);
болғанда – жорамал эллипс болады.
Егер
эллипсоидта
,
онда
немесеили
.
Центрі
координаталар бас нүктесінде орналасқан,
радиусы
тең сфера.