2.Гиперболидтар
Гиперболоидтың екі түрі бар: бірқуысты және екіқуысты.
Қандай-да бір декартты тікбұрышты координаталар жүйесінде келесі түрде анықталатын бет бірқуысты гиперболоид деп аталады.
(2)
Қандай-да
бір декартты тікбұрышты координаталар
жүйесінде келесі түрде анықталатын бет
екіқуысты гиперболоид деп аталады
(3)
Бірқуысты гиперболоидты зерттеу
(2)
теңдеуіне x, y және z айнымалылары
екінші дәрежеде кіргендіктен, бірқуысты
гиперболоид барлық координаталық
жазықтықтарға, координаталық осьтерге
және координаталар бас нүктесіне қатысты
симметриялы. (2) теңдеуінен көрініп тұр,
бет Oz осін қимайды, сондықтан да беттің
жорамал осі деп аталады. Ox және Oy
осьтерінің әрқайсысын бірқуысты
гиперболоид сәйкес екі нүктеде қиып
өтеді:
(a;
0; 0),
(-a;
0; 0) и
(0;
b; 0),
(0;
-b; 0). Бірқуысты гиперболоидтың симметрия
жазықтықтарымен және оларға параллель
жазықтықтармен қимасын қарастырайық.
yOz жазықтығы бірқуысты гиперболоид ты гипербола бойымен қиып өтеді.
н
емесе
xOy жазықтығы – эллипс бойымену
немесе
xOz жазықтығы – гипербола бойымен
немесе
z=h жазықтығы бірқуысты гиперболоидты эллипс бойымен қияды.
немесе
x
=
һ жазықтығы бірқуысты гиперболоидты
келесі сызық бойымен қияды
немесе
немесе
Егер
болса
, онда
қимада
гипербола
шығады,
нақты
осі Oy
осіне
параллель, ал жорамал осі Oz.осіне
параллель.
болғанда, қимада екі қиылысатын түзулер
шығады:
немесе
Бұл
түзулер бірқуысты гиперболоидтың
түзусызықты жасаушылары деп аталады.
Егер
болса, онда қимада нақты осі Oz осіне
параллель, ал жорамал осі Ox осіне
параллель гипербола шығады.
Екіқуысты гиперболоидты зерттеу
(3) теңдеуіне x, y және z айнымалылары екінші дәрежеде кіргендіктен, екіқуысты гиперболоид барлық координаталық жазықтықтарға, координаталық осьтерге және координаталар бас нүктесіне қатысты симметриялы.
(3) теңдеуінен көрініп тұр, бет OY және OZ остерін қимайды, ал OX осін
екіқуысты
гиперболоидтың төбелері деп аталатын
(a;0;0)
және
(-а;0;0)
нүктелерінде қияды.
Екіқуысты гиперболоидтың симметрия жазықтықтарымен және оларға параллель жазықтықтармен қимасын қарастырайық.
ХОY жазықтығы екіқуысты гиперболоидты гипербола бойымен қияды
немесе
XOZ - жазықтығы екіқуысты гиперболоидты гипербола бойымен қияды
немесе
ал Х=h –жазықтығы келесі сызық бойымен қияды
немесе
Егер
<a,
онда
<1
және 1-
>0.
Демек, қимада жорамал эллипс шығады,
ендеше жазықтық бетті қимайды.
Егер =a, онда 1- =0. Демек
Ендеше, жазықтық бетті екіқуысты гиперболоидтың төбесінде жанайды.
Егер >a, онда сызықтың теңдеуін келесі түрде жазуға болады
Қимада симметрия осьтері OY және OZ осьтеріне параллель болатын, ал жарты осьтері артқан сайын артатын эллипс аламыз. Z=h жазықтығы екіқуысты гиперболоидты келесі сызықпен қияды
немесе
Қимада нақты осі ОХ осіне параллель болатын гипербола шығады.
Тура сол сияқты, Y=h жазықтығы екіқуысты гиперболоидты нақты осі ОХ осіне параллель болатын гипербола бойымен қияды:
