3. Параболоиды
;
(4) теңдеуімен
анықталатын бет эллипстік параболоид
деп аталады.
Бетті қималар әдісімен зерттейміз.
X және Y айнымалылары беттің теңдеуіне екінші дәрежеде, ал Z бірінші дәрежеде болғандықтан , (4) теңдеуімен анықталатын эллипстік параболоид XOZ және YOZ жазықтықтарына қатысты симметриялы. Ал OZ осі эллипстік параболоидтың симметрия осі болады, ол бетті тек қана координаталар бас нүктесінде қиып өтеді. Координаталар басы эллипстік параболоидтың төбесі деп аталады.
X=0 жазықтығы эллипстік параболоидты парабола бойымен қияды.
немесе
Y=0 жазықтығы – парабола бойымен қияды
немесе
Демек, p және q –эллипстік параболоидты оның симметрия осьтерімен қиылысуынан шыққан, параболаның параметрлері. Z=h жазықтығы эллипстік параболоидты келесі сызық бойымен қияды
немесе
Егер h>0, онда қимада эллипс шығады
h=0 болғанда қимада нүкте шығады. Демек, беттің XOY жазықтығымен бір ғана ортақ нүктесі бар- координаталар бас нүктесі. Егер h<0, онда шарт бойынша p>0 және q>0 болғандықтан, қимада жорамал эллипс шығады. Демек, бет XOY жазықтығының бір жағында орналасқан.
Гиперболалық параболоид
(5)
теңдеуімен анықталатын бет гиперболалық
параболоид деп аталады.
мұндағы p>0; q>0.
Бетті қималар әдісімен зерттейміз.
X және Y айнымалылары беттің теңдеуіне екінші дәрежеде, ал Z бірінші дәрежеде болғандықтан , (5) теңдеуімен анықталатын гиперболалық параболоид XOZ және YOZ жазықтықтарына қатысты симметриялы. Ал OZ осі гиперболалық параболоидтың симметрия осі болады, ол бетті тек қана координаталар бас нүктесінде қиып өтеді. Координаталар басы гиперболалық параболоидтың төбесі деп аталады.
y=0 жазықтығы гиперболалық параболоидты парабола бойымен қиып өтеді
немесе
x=0 – жазықтығы гиперболалық параболоидты парабола бойымен қиып өтеді
немесе
Демек, p және q – гиперболалық параболоидтың симметрия жазықтықтарымен қиылысуынан шыққан параболалардың параметрлері.
z=h жазықтығымен гиперболалық параболоидты қиғанда келесі сызық аламыз
немесе
Егер h>0, онда қимада центрі (0, 0, h) нүктесінде болатын, ал нақты осі Ox осіне параллель болатын гипербола шығады. h=0 болғанда, қимада екі түзу пайда болады:
немесе
немесе
Бұл түзулер гиперболалық параболоидтың түзусызықты жасаушылары деп аталады. Егер h<0 болса, онда қимада осі Oy осіне параллель болатын гипербола шығады.
Гиперболалық параболоидтың yOz жазықтығына параллель жазықтықпен қимасын табамыз.
x=h жазықтығымен қимасында парабола аламыз
немесе
Параболаның
симметрия осі ось Oz
осіне параллель, ал төбесі (h;
0;
орналасқан. Параболаның тармақтары
төмен қарай бағытталған.
Гиперболалық параболоидты xOz жазықтығына параллель жазықтықпен қиғанда осылайша қайталанады. .