3.Сызықты теңдеулер жүйесін зерттеу

(I) жүйесін қарастырайық. Онда екі матрица қарастырамыз:

А – белгізідердің коэффициенттерінен құралған матрица (негізгі матрица).

В – А матрицасына бос мүшелер бағаның қосу арқылы алынған кеңейтілген матрица.

Егер бос мүшелер бағаны сызықты тәуелсіз болса, онда r_А=r_В немесе r_А=r_В-1 екенің көруге болады (сызықты тәуелді бағанның қосылуы В матрицасының сызықты тәуелсіз бағандардың максималды саның сақтайды, бұл жағдайда r_А=r_В. Бос мүшелердің сызықты тәуелсіз бағанының қосылуы А матрицасының сызықты тәуелсіз бағандарының максималды саның 1-ге үлкейтеді.

Сызықты теңдеулер жүйесінің үйлесімділігі туралы сұрақ келесі теоремамен толық шешіледі:

Кронекер – Капели теоремасы (үйлесімділік критериі)

(I) теңдеулер жүйесі үйлесімді сонда тек сонда ғана, егер негізгі матрицаның рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болса.

Үйлесімді жүйе анықталған, егер n=r , және анықталмаған, егер r<n болса.

Әдебиет: 1, 60 бет

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:

1. Қандай сызықты теңдеулер жүйесі (СТЖ) біртексіз, үйлесімді, үйлесімсіз, анықталған және анықталмаған деп аталады?

2. Сызықты теңдеулер жүйесінің шешімі деп не аталады?

3. Қандай сызықты теңдеулер жүйесі басқа теңдеулер жүйесінің салдары болады?

4. Қандай сызықты теңдеулер жүйелері мәндес (эквивалент) деп аталады?

5. Сызықты теңдеулер жүйелерінің мәндестігінің қасиеті.

6. Сызықты теңдеулер жүйесіне қатысты қандай қарапайым түрлендірулерді білесіз?

7. Кронекер- Капелли теоремасы (үйлесімділік критериі)

№7 дәріс

Тақырып: Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері.

Мақсаты:

1. Сызықты теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен, Крамер ережесі және кері матрица әдісімен шешуде практикалық дағдыларды қалыптастыру.

2. Біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі түсініктерін еңгізу.

Қарастыруға шығарылған сұрақтар:

1. Гаусс әдісі.

2. Крамер формулалары.Кері матрица әдісі.

3. Біртекті сызықты теңдеулер жүйесі.

4. Шешімдердің фундаменталды жүйесі.

1. Гаусс әдісі

Кез келген теңдеулер жүйесінде үш жағдай болуы мүмкін:

1.Жүйе үйлесімсіз:

2.Жүйе үйлесімді және анықталған:

3. Жүйе үйлесімді және анықталмаған:

Сызықты теңдеулер жүйесінің көптеген шешу әдістерінің арасында практикалық қолдануға және теориялық қорытындыларға да ыңғайлы әдістерінің бірі теңдеулер жүйесiндегi белгiсiздердi бiртiндеп жоюға негізделген Гаусс әдісі болып табылады. Қарапайым түрлендірулердің көмегімен берілген жүйе шешімдері айқын көрінетің түрге келтіріледі. Гаусс әдісі теңдеулердің кез келген жүйесіне қолдныла береді. Және (I) жүйесі үйлесімсіз болады, егер түрлендіру процессінде 0*x₁+*x₂+…+0*x_n= с, с≠0 (**) теңдеуін алсақ, басқа жағдайларда жүйе үйлесімді. Үйлесімді жүйе анықталған болады, егер ол үшбұрышты түрге келтірілсе ( r=n болған жағдайда) және анықталмаған, егер трапециялық түрге келтірілсе (r<n жағдайында).

2.Крамер ережесі. Кері матрица әдісі. Біртекті сызықты теңдеулер жүйесі

n –ші ретті анықтауыштарды сызықты теңдеулер жүйесін шешуге пайдалануға болады екенің көрсетейік. Теңдеулер саны белгісіздер санына тең болатын дербес жағдайды қарастырайық, яғни m=n.

(I)

- берілген жүйенің негізгі матрицасы

болсын; яғни А – нұқсансыз.

және деп, (I) жүйісін матрицалық түрде жазайық (матрицалық теңдеу) .

А матрицасы– нұқсансыз болғандықтан кері матрицасы. Матрицалық теңдеудің екі жағын да матрицасына көбейтіп, жүйенің матрицалық түрдегі шешімін табамыз: .

(III) - жүйенің жалғыз шешімі (кері матрица әдісі)

Жүйенің А матрицасы нұқсансыз болған кезде (III) формуласы n белгісізді n теңдеуден тұратын жүйенің шешімінің матрицалық жазылуын береді. Осыдан,

Теңдеудің оң жағындағы матрицаларды көбейтіп, және матрицалар теңдігінің шартын қолдансақ,

аламыз.

- А матрицасында k-шы бағанды (I) жүйесінің бос мүшелер бағанымен ауыстыру арқылы алынған матрица.

Анықтауышты k-шы баған бойынша жіктесек (Лаплас теоремасы бойынша), онда

(*)

Біз n белгісізді n сызықты теңдеудең тұратын жүйе үшін Крамер ережесіне келдік.

Егер (I) жүйесінің белгізідердің коэффициенттерінен құралған матрицаның анықтауышы болса, онда жүйенің тек бір ғана шешімі болады, және ол (*) формулалары бойынша табылады

Қорытынды:

1) Крамер ережесі жүйе шешімін оның коэффициенттері арқылы айқын өрнектейді.

2) Крамер ережесінің кемшілігі анықтауыштарды есептеуде тұрады, сондықтан практикалық тұрғыдан Гаусс әдісі ыңғайлы.