10. Энергия электрического поля

Энергия взаимодействия системы зарядов. Уединенный заряд не обладает энергией. Для того чтобы система могла совершать работу, необходимо, чтобы она содержала, как минимум, два заряда. Из формул ( 3 .10) и ( 3 .13) следует, что энергия одного точечного заряда (q₂) в поле другого точечного заряда (q₁) может быть найдена из выражения . Фактически это взаимная энергия, то есть энергия системы двух зарядов, поэтому формулу, определяющую эту энергию, логично переписать в следующем виде: . Здесь ₁ – потенциал в той точке поле, где находится заряд q₂ и наоборот. Для большего удобства в последней формуле изменим индексацию. Обозначим через ₂ потенциал поля, созданного зарядом q₁, в той точке поля, где находится заряд q₂, и наоборот, через ₁ – потенциал поля, созданного зарядом q₂ в той точке поля, где находится заряд q₁. Тогда формула для взаимной энергии двух зарядов примет вид: . Можно показать, что аналогичная формула имеет место для энергии любого числа N взаимодействующих зарядов:

,

3.36

Здесь _i – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме q_i, в той точке, где находится заряд q_i.

Энергия заряженного проводника. Заряд q, находящийся на проводнике, можно рассматривать как совокупность точечных зарядов q_i. Применим формулу ( 3 .36) к данной системе, учитывая, что поверхность проводника является эквипотенциальной и потенциалы тех точек, где находятся заряды q_i, одинаковы и равны потенциалу проводника . Получим: . Учитывая, что электроемкость проводника C=q/, можем записать:

,

3.37

Энергия заряженного конденсатора. В заряженном конденсаторе накопле­на электрическая энергия, которую можно определить как работу, совершаемую при зарядке конденсатора. Процесс зарядки конденсатора состоит, по сути, в том, что заряд с одной пластины переносится на другую. Сначала, когда конденсатор не заряжен, для переноса первой порции заряда не требуется работы. Но, когда на каждой из пластин уже имеется заряд, для пополнения его приходится совершать работу против сил электрического отталкивания. Чем больше накопленный пластинами заряд, тем большую работу необходимо совершить для его увеличения. Если на пластинах сущест­вует разность потенциалов, работа по переносу элемен­та заряда dq равна dА=dq. Поскольку =q/C (см. ( 3 .29)), энергия конденсатора определится как

,

3.38

С учетом формулы (1.27) можно получить эквивалентные выражения для энергии:

,

3.39

Энергия и плотность энергии электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через напряженность электрического поля. Сделаем это для плоского конденсатора. Ранее мы показали, что в таком конденсаторе напряженность элек­трического поля Е связана с раз­ностью потенциалов соотношением , где d - рас­стояние между пластинами. Кроме того, согласно ( 3 .21), емкость плоского конденсатора равна С = ₀S/d.

Тогда

,

3.40

где V= Sd – объем, занимаемый элек­трическим полем Е.

Полученная формула связывает энергию конденсатора с напряженностью поля, а формула ( 3 .40) – с зарядом на его обкладках. Что же является носителем энергии – заряды или поле? В рамках электростатики ответить на этот вопрос невозможно, поскольку электростатическое поле неразрывно связано с зарядом. Как мы увидим позже, переменные поля могут существовать независимо от породивших их зарядов. Логично поэтому связывать энергию с полем.

Разделив обе части формулы ( 3 .40) на объем, получим выражение для энергии, запасенной в единице объема, или плотности энергии:

,

3.41

Плотность энергии электрического поля, запасенной в лю­бой части пространства, пропорциональна квадрату напря­женности электрического поля в этой области. Выраже­ние ( 3 .41) получено для частного случая плоского конден­сатора. Можно показать, однако, что оно справедливо для любой области пространства, в которой существует электрическое поле.