3. Явление самоиндукции. Ток при замыкании и размыкании цепи

Магнитный поток, создаваемый магнитным полем любого проводника, пропорционален силе тока в этом проводнике

Ф_м  I.

Коэффициент пропорциональности называется индуктивностью проводника. Как и взаимная индуктивность, индуктивность измеряет­ся в генри. Значение индуктивности зависит от геометрии проводников и наличия ферромагнитного материала. Для увеличения индуктивности проводник наматывают в виде катушки, индуктивность которой зависит от числа витков и магнитной проницаемости сердечни­ка (если он помещен в катушку). В принципе, ин­дуктивность можно определить для любой цепи или ее части.

Найдем индуктивность длинного соленоида. Поток через один виток равен Ф_i=BS, где  индукция магнитного поля, созданного соленоидом. Поток, пронизывающий все витки соленоида, равен Ф_м =NФ_i, тогда

,

3.90

где n=N/l – число витков на единицу длины соленоида, V=Sl – объем соленоида.

Явление возникновения ЭДС в проводнике с током при изменении собственного магнитного потока, создава­емого этим током, называется самоиндукцией. Возника­ющую при этом ЭДС называют ЭДС самоиндукции:

.

3.91

ЭДС самоиндукции возникает как при изменении тока, так и при изменении индуктивности. Если индуктивность не зависит от тока и является постоянной величиной, ЭДС самоиндукции определится как¹:

.

3.92

Явление самоиндукции можно наблюдать на опыте (Рис. 3 .46 Схема для демонстрации явления самоиндукции). При замыкании цепи лампа Л₂, включенная в цепь с катушкой индуктивности (индуктивность изображается символом ), загорается позже, чем лампа Л₁, включенная последовательно с резистором.

Рис. 3.46 Схема для демонстрации явления самоиндукции

В момент замыкания ключа, соединяющего цепь с источником тока, в цепи возникает нарастающий ток, вызывающий появление в катушке ЭДС самоиндукции, препятствующей увеличе­нию тока. Однако по мере возрастания силы тока напряжение на лампе Л₂ увеличивается, а на индуктивно­сти  уменьшается. Таким образом, ток в цепи постепенно нарастает и приближается к максималь­ному значению, примерно такому же, как в лампе Л₁. Резистор R, включенный последовательно этой лампе, как раз и служит для подбора одинакового тока в двух лампах.

Процесс нарастания тока в цепи можно описать математически, применив к цепи², изображенной на Рис. 3 .47, правило Кирхгофа. Поскольку любая катушка индуктивности обладает электрическим сопротивлением, реальную катушку мы представили в виде последовательно соединенных индук­тивности L и резистора R. Сопротивление источника тока не учитываем.

Рис. 3.47 К выводу закона изменения тока при замыкании и размыкании цепи

В момент размыкания ключа К в замкнутой цепи появляется ЭДС источника E и при нарастании тока I в цепи возникает ЭДС самоиндукции катушки E_S = L(dI/dt). На основании второго правила Кирхгофа (см. раздел 3.2.4) составляем уравнение:

.

Мы получили линейное дифференциальное уравнение, которое можно решить методом разделения переменных. Приведем его к виду: и проинтегрируем левую и правую части:

, откуда .

Потенцируя данное выражение, получаем: . Приведем последнее к виду:

,

3.93

где I₀ =E /R – установившееся значение тока,  = L/R – постоянная времени цепи.

Значение t =  есть время, за которое сила тока достигает величины

I₀(1  1/е)= 0,63 I₀, или 63% от своего установившегося значения.

Если перебросить переключатель K (Рис. 3 .47), в положение, при котором источник тока замыкается (выключается из цепи) в тот момент, когда сила тока в цепи была равной I₀, то ток в цепи начинает уменьшаться, и возникающая ЭДС индукции будет направлена так, чтобы замедлять его уменьшение.

На основании второго правила Кирхгофа составим уравнение для этого случая: . Разделим переменные и проинтегрируем левую и правую части: , откуда или

.

3.94

Таким образом, ток экспоненциально убывает до нуля. При t =  ток составляет I₀/е = 0,37 I₀.

Поскольку реальные цепи всегда обладают индуктивностью, пусть даже малой индуктивностью соединительных проводов, ток при включении цепи достигает максимального значения с некоторой задержкой.