5. Магнитный поток. Работа при перемещении проводника с током в магнитном поле

Элементарным пото­ком вектора магнитной индукции, или магнитным потоком, сквозь малую площадку dS (Рис. 3 .39) называется физическая величина, равная произведению величины этой площадки и проекции В_п вектора на направление нормали к площадке dS:

,

3.77

Рис. 3.39 К определению магнитного потока

Полный поток через площадку S:

.

Если поле однородное, а площадка S плоская то В_п = const и

Фм=BScos.

3.78

Магнитный поток можно наглядно истолковать как величину, пропорциональную числу линий магнитной индукции, пронизывающих данную площадку. Формула ( 3 .78) позволяет установить единицу измерения магнитного потока  вебер:

1Вб=1Тм².

Для магнитного поля справедлива теорема Гаусса: Магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверх­ность равен нулю: . Эта теорема является следствием того, что в природе нет магнит­ных «зарядов» и линии индукции любого магнитного поля пред­ставляют собой замкнутые кривые.

Вычислим работу dA, совершаемую силой Ампера при перемещении элемента dl проводника с током I в магнитном поле индукцией . Для простоты предположим, что элемент проводника перемещается в направлении действующей на него силы dF (Рис. 3 .40). В этом случае работа dA равна произведению силы dF и перемещения dx, то есть:

,

3.79

Рис. 3.40 Перемещение проводника с током в магнитном поле

Сила dF и перемещение dx направлены перпендикулярно к элементу проводника dl. Следовательно, произведение dldx = dS представляет собой площадь поверхности, описанной элементом проводника dl при его перемещении на расстояние dx. Из Рис. 3 .40 видно, что

,

где В_п  проекция вектора на направление нормали к пло­щадке dS. Следовательно, произведение B_ndS=Bdldxsin равно магнитному потоку dФ_м сквозь поверхность dS. Поэтому форму­лу ( 3 .79) можно переписать в виде:

3.80

Интегрируя это выражение и, полагая силу тока постоянной, получаем:

3.81

Работа, совершаемая силами Ампера при перемещении в магнит­ном поле проводника, ток в котором постоянен, равна произведению силы тока на величину магнитного потока сквозь поверхность, кото­рую описывает проводник при своем движении.

6. Замкнутый контур с током в магнитном поле

Рассмотрим замкнутый прямоугольный контур (рамку) (Рис. 3 .41) длиной а и шириной b. По рамке течет ток силой I; рамка расположена в горизонтальном однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции которого составляет угол  с нормалью к плоскости рамки. Она может свободно вращаться относительно вертикальной оси.

Токоподводящие провода (в верхней части контура) расположены очень близко друг к другу и скручены, так что действующими на них со стороны магнитного поля силами можно пренебречь. Сила тока, втекающего в рамку, и сила тока, вытекающего из рамки, равны по величине и противоположны по направлению; оба подводящих проводника расположены очень близко друг к другу.

Рис. 3.41 К расчету вращающего момента, действующего на контур с током в магнитном поле

Силы, действующие на горизонтальные участки рамки (длиной b), равны по величине и противоположны по направлению (направлены вверх и вниз по вертикали); эти силы взаимно уравновешиваются и не создают ни результирующей силы, ни вращающего момента.

Силы , действующие на каждый из вертикальных участков рамки длиной а, согласно формуле ( 3 .68), равны по модулю , поскольку эти участки перпендикулярны ; одна из сил направлена в плоскость чертежа, другая  из плоскости (по правилу правой руки; см. раздел 3.3.2) причем обе силы не лежат на одной прямой. Таким образом, эти силы создают вращающий момент. Плечо (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения) каждой из сил равно , и результирующий вращающий момент двух сил

,

3.82

где S = ab  площадь рамки. В данном случае вращающий момент сил (см. раздел «Механика») направлен вниз. Произведение IS называется магнитным моментом витка с током и представляет собой вектор , направленный перпендикулярно плоскости витка (направление вектора связано с направлением тока в контуре правилом буравчика). Таким образом, вектор вращающего момента равен векторному произведению:

3.83

Если рамка содержит N витков, то суммарный ток в каждом участке равен NI и вращающий момент . Эта формула, полученная здесь для прямоугольной рамки, справедлива для любой плоской катушки.

Найдем работу dA, совершаемую моментом сил Ампера по повороту контура на угол d. Работа при вращательном движении определяется как произведение (см. раздел «Механика»): . Знак (-) означает, что силы, действующие на виток в магнитном поле, стремятся уменьшить угол  между положительной нормалью к контуру, определяемой по правилу буравчика, и вектором магнитной индукции.

При повороте контура на конечный угол работа определится как интеграл:

.

Здесь использовано выражение ( 3 .82) и учтено, что ток, индукция магнитного поля и площадь контура неизменны. Если учесть формулу ( 3 .78), то последнее выражение можно представить в виде:

,

3.84

Эта формула пригодна для расчета работы при любом перемещении контура, когда меняется пронизывающий его поток, а не только при повороте контура.