6. Теорема Остроградского-Гаусса

Введем понятие потока вектора напряженности. Рассмотрим произвольную поверхность S в электрическом поле (Рис. 3 .12). Выберем на ней элемент dS бесконечно малой площади. Ввиду ее малости площадку dS можно считать плоской, а поле в ее пределах однородным, то есть одинаковым по величине и направлению.

Рис. 3.12 К определению понятия потока вектора напряженности

Элементарный поток вектора напряженности сквозь площадку dS по определению равен скалярному произведению:

, где - вектор элемента поверхности ( - единичный вектор нормали к площадке dS), Е_n - проекция вектора на направление нормали.

Рис. 3.13 Уединенный точечный заряд, окруженный сферической поверхностью А1 и поверхностью формы А2

Полный поток вектора напряженности через поверхность площадью S определится через интеграл

,

3.17

Заметим, что интеграл по поверхности на практике не всегда легко вычисляется, однако необходимость в этом возникает не часто, за исключением самых простых си­туаций, которые мы рассмотрим ниже.

Если графически изображать поле так, что напряженность будет численно равной числу силовых линий, пронизывающих единичную площадку в перпендикулярном к ее поверхности направлении, то поток вектора напряженности через любую площадку можно представить как число силовых линий, пронизывающих эту площадку.

Теорема Остроградского-Гаусса устанавливает точное соотношение между потоком вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность и суммарным зарядом, находящимся внутри этой поверхности:

3.18

Нетрудно показать справедливость этой теоремы для одного точечного заряда Q, если охватывающая его поверхность является сферой (А₁ на Рис. 3 .13), в центре которой находится этот заряд. Линии напряженности направлены по радиусам и в каждой точке сферы перпендикулярны ей, следовательно, Е_n = Е. В точках на поверхности напряженность поля одинакова, поэтому величину Е можно вынести из-под знака интеграла в выражении ( 3 .17). Подставив вместо Е напряженность поля точечного заряда из, а вместо полной площади – площадь сферы S=4r², получим, что .

Рис. 3.14 К определению потока через складчатую поверхность

Если выбрать поверхность неправильной формы, например поверхности А₂ на Рис. 3 .13, то теорема будет справедлива и для этой поверхности, так как через эту поверхность проходит то же число силовых линий, что и через сферу A₁, следовательно, поток через А₂ равен потоку через А₁. Таким образом, формула ( 3 .17) справедлива для любой замкнутой поверхности, окружа­ющей точечный заряд, даже если эта поверхность имеет складки и некоторые силовые линии пересекают ее не один а, скажем, три раза ( 3 .14). В таком случае каждая из площадок dS', dS",dS'" внесет в общий поток одинаковый по абсолютной величине вклад, но вклад площадки dS" будет отрицательным (отрицательным будет косинус угла между векторами и ), поэтому вклад этих площадок в общий поток будет таким же, как у одной площадки dS'.

Из сказанного ясно также, почему заряды, находящиеся вне замкнутой поверхности, не изменяют общего потока – их силовые линии будут пересекать замкнутую поверхность дважды и давать в одном случае отрицательный вклад в общий поток, во втором – положительный.

Рассмотрим, наконец, случай, когда внутри поверх­ности находятся N точечных зарядов q₁, q₂, … q_N. В силу принципа суперпозиции полная напряженность электрического поля Е есть векторная сумма напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому

Каждый из интегралов, стоящих под знаком суммы, равен q_i/₀. Следовательно,

Закон Кулона и теорема Остроградского-Гаусса отражают одно и то же свойство электрического поля – напряженность электрического поля неподвижного точечного заряда убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда.