3. Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле проводников с током

Био и Савар в 1820 г. провели исследования магнитных полей, создаваемых проводниками разной формы. Они установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна величине тока и сложным образом зависит от расположения проводников. Лаплас, обработав их данные, получил формулу, называемую законом Био-Савара-Лапласа:

,

3.70

Здесь - элемент тока (произведение силы тока на элемент длины проводника), совпадающий по направлению с током; - радиус-вектор, проведенный в ту точку поля, где определяется магнитная индукция (Рис. 3 .35); ₀ - магнитная постоянная (см. раздел 3.3.1). Направление элементарной магнитной индукции совпадает с направлением вектора, равного векторному произведению . Модуль определим, используя выражение для модуля векторного произведения:

,

3.71

Рис. 3.35 Магнитное поле, создаваемое элементом тока

Применим Закон Био-Савара-Лапласа для определения магнитной индукции в центре кольцевого проводника (витка) с током, находящегося в вакууме (Рис. 3 .36 К определению магнитной индукции в центре витка). Выделим произвольный бесконечно малый элемент проводника dl и проведем радиус-вектор в центр витка. Создаваемое элементом тока магнитное поле в центре витка будет иметь магнитную индукцию , направленную, в соответствии с ( 3 .70), перпендикулярно плоскости витка. Нетрудно понять, что и другие элементы проводника будут создавать в центре витка поле, направленное так же. Поэтому полное поле (на Рис. 3 .36 К определению магнитной индукции в центре витка оно изображено кружком с крестиком - хвост улетающей стрелы) в центре витка определится как интеграл от скалярного выражения ( 3 .71):

,

3.72

Рис. 3.36 К определению магнитной индукции в центре витка

Магнитная индукция в центре витка пропорциональна току и обратно пропорциональна радиусу витка.

Аналогичным образом можно найти выражение для магнитной индукции поля, создаваемого прямолинейным проводником бесконечной длины:

,

3.73

Здесь b - кратчайшее расстояние до проводника. На Рис. 3 .37 изображены магнитные силовые линии прямого проводника с током, имеющие вид концентрических окружностей. Для точки, находящейся на расстоянии b от проводника, показано направление вектора .

Рис. 3.37 Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Направление магнитного поля, созданного проводником с током, можно найти с помощью правила буравчика. Для прямолинейного проводника правило применяется следующим образом: если вращать ручку буравчика так, чтобы его поступательное движение совпадало по направлению с током (на Рис. 3 .37 - вверх), то направление движения ручки буравчика будет совпадать с направлением силовых линий. Для кольцевого проводника: если вращать ручку буравчика по направлению тока (по часовой стрелке на Рис. 3 .36), то поступательное движение будет совпадать по направлению с магнитной индукцией в центре витка (на Рис. 3 .36 - от нас).