3. Система уравнений Максвелла

Дополнив основные экспериментально открытые факты установлением магнитного действия тока смещения, Максвелл написал систему фундаментальных уравнений электродинамики. Таких уравнений четыре. Первые два мы уже записали. Это уравнения ( 3 .122)  закон электромагнитной индукции Фарадея и ( 3 .124) (или ( 3 .125))  обобщенная Максвеллом теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Следующие два уравнения Максвелла  это теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля (раздел 3.1.6, фор­мула ( 3 .18)) и теорема Гаусса для магнитного поля (разд. 3.4).

Поскольку заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности (см. формулу ( 3 .18)), может быть распределен по объему произвольным образом, его можно представить в виде интеграла или проще: , где  - объемная плотность заряда, V – объем, охватываемой замкнутой поверхностью.

В интегральной форме уравнения Максвелла имеют вид:

 первое уравнение;

 второе уравнение;

εε₀  третье уравнение;

 четвертое уравнение;

К этим фундаментальным уравнениям необходимо также добавить уравнение, связывающее плотность тока в среде с напряженностью электрического поля – закон Ома: . Закон Ома не является всеобщим, а строго выполняется лишь в металлических проводниках. В других средах он выполняется лишь при определенных условиях (см. раздел 3.5.4).

Уравнения Максвелла имеют следующий смысл: 1-е  изменение магнитного поля порождает вихревое электрическое поле (закон электромагнитной индукции); 2-е  магнитное поле создается электрическим током или изменяющимся электрическим полем (теорема о циркуляции вектора магнитной индукции); 3-е  обобщенный закон Кулона (теорема Остроградского-Гаусса), связывающий электрическое поле с его источниками  электрическими зарядами; 4-е  математическое выражение факта отсутствия изолиро­ванных магнитных зарядов: силовые линии магнитного поля непрерывны (замкнуты) в отличие от силовых линий электрического поля, которые начинаются или заканчи­ваются на электрических зарядах.

Уравнения Максвелла выражают основные законы электромагнетизма. Они столь же фундаментальны, как и три закона движения и закон всемирного тяготения Нью­тона в механике.

В предыдущих главах 1 и 3 мы изучали электрическое и магнитное поля по отдельности, не учитывая их взаимного влияния. Действительно, если поля не изменяются во времени, производные напряженности электрического поля и магнитной индукции равны нулю и уравнения Максвелла в этом случае выглядят следующим образом:

, , ,

Видно, что магнитное поле создается только токами проводимости, а электрическое – только неподвижными зарядами, причем электрическое поле никак не связано с магнитным. Если же поля изменяются во времени, то по отдельности их рассмат­ривать уже нельзя: изменяющееся магнитное поле по­рождает электрическое поле, а изменение электрического поля приводит к возникновению магнитного поля. Важ­ным следствием этого оказывается возникновение элект­ромагнитных волн.