4. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Поле тороида и бесконечно длинного соленоида

В электростатическом поле циркуляция вектора напряженности равна нулю, и это поле потенциально. Определим циркуляцию вектора магнитной индукции. Для этого вначале рассмотрим магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током (Рис. 3 .37). Магнитные силовые линии прямолинейного тока представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны к проводнику, а центры лежат на оси проводника. Вычислим циркуляцию вектора магнитной индукции этого поля вдоль произвольной силовой линии L – окружности радиусом b: . Поскольку контур интегрирования L совпадает с линией индукции магнитного поля, во всех точках контура B  const и  = 0. Вынося постоянные величины за знак интеграла и, воспользовавшись формулой для магнитного поля прямого тока ( 3 .74), получаем

.

а) б)

Рис. 3.38 Вид (а) и сечение тороида (б)

Эта формула справедлива для контура любой формы, охватывающего проводник с током. Можно показать также, что если контуром охватывается несколько токов, то циркуляция равна:

,

3.74

Здесь под знаком суммы стоит алгебраическая сумма токов. Со знаком (+) берутся токи, направление которых связано с направлением обхода контура L правилом буравчика. Выражение ( 3 .74) называют теоремой о циркуляции магнитной индукции (в зарубежной литературе – законом Ампера). Из формулы ( 3 .74) можно сделать вывод, что магнитное поле токов – непотенциальное поле, так как циркуляция вектора не равна нулю; такие поля принято называть вихревыми полями.

С помощью теоремы о циркуляции вектора можно рассчитать магнитное поле токов в простых случаях. В качестве примера рассмотрим магнитное поле тороида. Тороидом называется кольцевая катушка, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (Рис. 3 .38). Справа показано сечение тороида плоскостью, проходящей через его осевую линию. Обозначим через R₁ и R₂ соответственно внешний и внутренний радиусы сечения тороида (размерами поперечного сечения провода, из которого сделана обмотка, пренебрегаем). Из условия симметрии следует, что силовые линии магнитного поля тороида должны иметь форму окружностей, центры которых лежат на прямой, проходящей через центр тороида и перпендикулярной к плоскости чертежа. Очевидно также, что во всех точках одной и той же силовой линии численные значения индукции должны быть одинаковыми. Поэтому циркуляция вектора вдоль окружности L₁ радиуса r равна

.

Обозначим число витков обмотки тороида через N, а ток в ней через I.

Если r < R₁, то внутри окружности интегрирования нет токов, поэтому циркуляция вектора равна нулю, следовательно, и . Если r > R₂, то окружность L₂ охватывает 2N проводников с током I. Однако, как видно из Рис. 3 .38, в N из них ток I идет в одном направлении (во внутренних частях обмотки  от нас), а в остальных N проводниках  в обратном направлении (во внешних частях обмотки  к нам). Поэтому алгебраическая сумма токов во всех проводниках равна нулю, а из ( 3 .74) следует, что или В=0.

Следовательно, вне тороида магнитного поля нет. Оно целиком локализовано внутри объема тороида (R₁ < r < R₂). Окружность радиусом r , лежащая внутри тороида, охватывает N проводников, токи в которых равны I и одинаково направлены. Поэтому , откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида равна:

,

3.75

Таким образом, напряженность поля внутри тороида уменьшается по мере удаления от его центра. Индукция магнитного поля на осевой линии тороида (r=R_CР= (R₁+R₂)/2) равна: , где n  число витков на единицу длины средней линии тороида. Если неограниченно увеличивать средний радиус тороида, сохраняя неизменной густоту n витков его обмотки, то неоднородность поля внутри тороида будет уменьшаться. В пределе вместо тороида получим бесконечно длинный соленоид – прямую катушку. Поле внут­ри такого соленоида будет однородным, а магнитная индукция внутри равна:

.

3.76