5. Электрический колебательный контур

Электрическим колебательным контуром называют замкнутую цепь, состоящую из конденсатора С и катушки индуктивности L (Рис. 3 .71).

Периодически повторяющиеся изменения силы тока в катушке и напряжения на конденсаторе при отсутствии внешних воздействий называются свободными колебаниями.

Рис. 3.71 . Колебания тока, заряда конденсатора и превращения энергии в колебательном контуре в течение одного периода колебаний

При подключении к обкладкам заряженного конденсатора (Рис. 3 .71а) катушки индуктивности в ней возникает ток. Если электрическое сопротивление катушки пренебрежимо мало, то энергия электрического поля W_е заряженного конденсатора начинает превращаеться в энергию магнитного поля W_м. Мгновенной раз­рядке конденсатора препятствует ЭДС самоиндукции, сдер­живающая процесс возрастания силы тока в катушке. В тот мо­мент, когда конденсатор полностью разрядится, сила тока в катушке и энергия магнитного поля достигнут максимальных (амплитудных) значений (Рис. 3 .71б). После разрядки конденсатора ток в катушке убывает, но это приводит к уменьшению магнитного потока, что вызывает появ­ление в катушке ЭДС самоиндукции и индукционного тока. Сейчас на­правление индукционного тока таково, что он препятствует умень­шению магнитного потока. Конденсатор заряжается индукционным током катушки. Когда ток исчезнет, конденсатор окажется заряженным до первоначального значения заряда, но противоположного знака (Рис. 3 .71в). После этого происходит следующий процесс перезарядки конденсатора током, протекающим в противоположном направлении (Рис. 3 .71г), и возврат в исходное состояние после совершения одного полного колебания (Рис. 3 .71д). В верхней части рисунка показаны значения времени соответ­ству­ющих состояний, выраженные в долях периода.

Из закона сохранения энергии следует, что при отсутствии в контуре сопротивления максимальное значение энергии W_e электрического поля заряжен­ного конденсатора равно максимальному значению энергии магнитного поля W_м катушки: , откуда можно получить связь амплитудных значений тока в катушке и напряжения на конденсаторе: . Это отношение имеет размерность сопротивления, поэтому величину называют волновым или характеристическим сопротивлением контура.

В реальном электрическом контуре из-за потерь энергии на нагревание проводников и диэлектриков энергия магнитного и электрического полей по­степенно превращается во внутреннюю энергию. Свободные электромагнитные колебания в контуре оказываются затухающими.

Рис. 3.72 Реальный колебательный контур

Потери энергии в контуре можно учесть путем введения активного сопротивления (Рис. 3 .72). Поскольку потери в диэлектрике конденсатора малы, это сопротивление практически равно активному сопротивлению катушки индуктивности. Считая направление тока, заряжающего конденсатор, положительным, запишем закон Ома для участка цепи от отрицательно заряженной обкладки конденсатора 1 до положительно заряженной 2. В соответствии с формулой ( 3 .55) получаем: .

Направление обхода контура от точки 1 к точке 2 совпадает с направлением тока, поэтому произведение iR положительно. ЭДС самоиндукции по правилу Ленца отрицательна. Так как потенциал отрицательно заряженной пластины меньше, чем потенциал положительной, разность потенциалов (₁ ₂) отрицательна:

,

где q – заряд на конденсаторе. Изменение заряда конденсатора вызывается током, поэтому

.

С учетом вышеизложенного закон Ома можно записать в виде:

,

или в виде:

.

3.119

где =R/2L – коэффициент затухания, - собственная частота.

Дифференциальное уравнение ( 3 .119) подобно уравнению, полученному для механического пружинного маятника (см. раздел «Механика»). Решение данного уравнения имеет вид:

.

3.120

где q₀  амплитуда тока в начальный момент времени,

.

3.121

 частота затухающих колебаний. Из ( 3 .120) следует, что уменьшение амплитуды со временем происходит по экспоненциальному закону. Частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний ₀. Из ( 3 .121) следует, что при большом затухании (  ₀) частота становится мнимой величиной. Это означает, что колебательного процесса не происходит и заряд конденсатора уменьшается до нуля без перезарядки. Такой процесс называется апериодическим.

Рис. 3.73 Колебания заряда на конденсаторе в контуре с потерями

Степень затухания колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания . Он равен логарифму натуральному двух соседних амплитуд. В разделе «Механика» показано, что , где Т=2/ – период колебаний. Еще одной характеристикой контура является добротность. Она связана с логарифмическим декрементом затухания соотношением и при малом затухании выражается через параметры колебательного контура следующим образом: , то есть равна отношению характеристического сопротивления контура к активному сопротивлению потерь.

Если в колебательный контур (Рис. 3 .72) последовательно со всеми элементами цепи включить источник переменной ЭДС, то получится цепь, изображенная на Рис. 3 .70а. Колебания, происходящие в таком контуре, называются вынужденными. Непосредственно после включения источника ЭДС в контуре будет наблюдаться наложение затухающих колебаний с частотой ' и колебаний с частотой , то есть с частотой колебаний вынуждающей ЭДС. Через некоторое время затухающие колебания прекратятся и в контуре будут существовать колебания только с частотой . Такие вынужденные колебания называются установившимися. Именно эти колебания описаны в предыдущем разделе. Явление резонанса используется для выделения колебаний заданной частоты, например в радиоприемниках. Если подать на контур колебания нескольких частот, то колебание, имеющее частоту, равную собственной частоте контура, будет иметь максимальную амплитуду.