16.8. Системы оптимального управленияхорошо определяемыми процессами рыболовства с применением математических моделей
16.8.1. Системы оптимального управления рыболовством работают на различных принципах. Принцип работы зависит от степени определяемости процессов в системах, наличия и качества математических моделей, возможности получения в процессе управления информации и т.д. Рассмотрим в общих чертах несколько разновидностей таких систем, работающих на различных принципах. Естественно, что работа систем управления рыболовством точно в соответствии с этими принципами не всегда возможна. В таких случаях организуют работу систем так, чтобы в наибольшей степени реализовать тот или иной принцип.
16.8.2. Наиболее перспективен способ управления хорошо определяемыми процессами рыболовства с применением математических моделей.
Управление основано на использовании достаточно точных математических моделей процесса управления рыболовством и поиске оптимального режима управления. При таком поиске используют математические модели, которые связывают наиболее важные параметры управления рыболовством с выбранным критерием его качества (критерием оптимальности). Для поддержания оптимума процесса значения входных и выходных показателей процесса подают в ЭВМ. Она выдает результаты, которые могут служить советами обслуживающему персоналу.
16.8.3. Основными этапами решения задачи оптимизации в рассматриваемом случае является построение математической модели процесса, выбор показателя качества (целевой функции) управления, выбор ограничений на переменные состояния и управления, использование полученных данных для оптимального управления с применением ЭВМ. Модели процессов при их оптимизации служат для установления связей между переменными состояния и переменными управления, при этом оптимизируют не модель процесса, а некоторый критерий качества, целевую функцию. Критерий качества и ограничения на процесс обычно являются функциями, как переменных состояния, так и переменных управления. В некоторых случаях производят прямую подстановку модели процесса в выражения для целевой функции и ограничений, в результате чего последние становятся функциями только переменных управления. Тогда можно изменить целевую функцию, добавив модель процесса, умноженную на множитель Лагранжа, и рассматривать модель процесса как ограничение на переменные.
Более удобной формой оптимизационной модели процесса, естественно, является модель, в которой каждая переменная состояния выражена как функция всех или некоторых переменных управления. Далее по степени удобства и сложности идут модели для критерия качества и функции ограничения в зависимости от переменных состояния и переменных управления. Такие функции в некоторых случаях можно преобразовать в выражения только с переменными управления.
16.8.4. При стационарном режиме процесса, когда используют ЭВМ и пригодны методы статической оптимизации, задача ЭВМ заключается в компенсации изменений, которые вносят нерегулируемые переменные и изменяющиеся коэффициенты. Следовательно, ЭВМ должна при любых комбинациях входных нерегулируемых переменных найти значения регулируемых переменных, при которых показатель оптимальности процесса принял бы экстремальное значение с учетом ограничений на процесс.
Для определения показателя оптимальности используют различные математические модели процесса. Оптимальные условия протекания процесса регулирования рыболовства, как показано выше, находят аналитическими и численными методами, методами поиска. Выбор метода зависит от вида математической модели и характера ограничений.
Иногда процессы регулирования рыболовства протекают так, что управляемые переменные необходимо менять для получения максимума общего критерия оптимальности. Чтобы решить эту задачу с помощью ЭВМ, к статическим уравнениям добавляют другие уравнения (в том числе дифференциальные). Последние показывают, как в процессе управления должны изменяться показатели системы, влияющие на эффективность управления.
Подобную задачу квазистационарной оптимизации обычно решают с применением вариационного исчисления, динамического программирования и принципа максимума.
16.8.5. Если, кроме статической, необходима динамическая оптимизация процессов управления с применением математических моделей, то ЭВМ непосредственно включают в цепь регулирования. В основном уравнения динамики применяют при оптимизации некоторого нестационарного, например, переходного процесса.
16.8.6. Применение ЭВМ, кроме математических моделей процесса, требует определения алгоритмов поиска оптимальных режимов, моделирования этих процессов для проверки желательно на действующих системах.
В зависимости от сложности процесса, способа поиска оптимального режима, стабильности процесса во времени и т.д. возможны различные варианты проведения опытов управления на действующих системах. Так, если имеют достаточно точное описание процесса и его характеристики стабильны во времени, то опыты управления целесообразно проводить по некоторым рекомендациям. Такие рекомендации можно получить заранее путем моделирования на ЭВМ поисков оптимальных режимов работы.
Рассмотрим несколько способов управления рыболовством хорошо определяемыми процессами с применением математических моделей.
16.8.7. Простым, но обычно менее точным, считают оптимальное управление без обратной связи и ограничений или с ограничениями. Так управляют статическими процессами, когда критерий качества, модель процесса и ограничения характеризуются установившимся состоянием, непрерывностью величин, детерминированным характером и однозначностью функций. В этом случае уравнения оптимального управления получают вне системы управления, а решают в системе управления. В результате определяют переменные оптимального управления для определенных, рабочих условий и параметров. Схема такого управления показана на рис. 16.1.
Рис. 16.1. Схема управления хорошо определяемыми статическими процессами без обратной связи с ограничениями или без ограничений.
В наиболее простом случае оптимальное управление сводится к определению максимума или минимума методами математического анализа, когда задана нелинейная целевая функция (критерий качества) без ограничений.
Задачу обычно решают в следующей последовательности:
задают рабочую точку процесса в виде конкретных значений переменных состояния и переменных управления;
определяют модель процесса как зависимость между переменными состояния и переменными управления;
получают нелинейное уравнение критерия качества в функции переменных состояния, переменных управления и координат рабочей точки;
в выражение для целевой функции подставляют уравнение процесса и исключают из этого выражения переменные состояния;
исследуют полученное уравнение на экстремум;
находят уравнение оптимального управления в виде зависимости переменных управления от координат рабочей точки и параметров процесса;
в уравнение оптимального управления вводят конкретные значения координат рабочей точки, параметров процесса и получают соответствующую этим условиям величину переменной управления;
подставляют полученное значение переменной управления в выражение для целевой функции и убеждаются, что значение целевой функции в этом случае имеет максимальное или минимальное значение.
Модель рабочего процесса управления в общем случае не проходит через рабочую точку. Однако минимум целевой функции все же существует, хотя целевая функция не равна нулю.
Рассмотренная задача сложнее при большем количестве переменных состояния и управления, которые характеризуют процесс. Соответственно, в общем случае решают системы нелинейных уравнений.
При оптимизации управления подобным способом условия оптимума зависят от соотношения между количеством переменных управления и количества переменных состояния. Если количество переменных состояния равно количеству переменных управления, то систему называют определенной. Если количество переменных управления превышает количество переменных состояния, то систему называют переопределенной. Наконец, когда количество переменных управления меньше количества переменных состояния, то систему называют недоопределенной.
Решение задачи в первом случае не вызывает затруднений. Во втором случае, чтобы решить задачу, «лишним» переменным управления придают произвольные постоянные значения, например, приравнивают к нулю. Теоретически управлять недоопределенной системой невозможно. Однако практически такое возможно, например, при выходе из строя связи с одной из переменных управления. Тогда некоторую переменную управления считают равной нулю. С учетом этого изменяют математическую модель процесса и управляют всеми переменными состояния процесса, но с пониженным качеством.
16.8.8. Следующий способ оптимального управления без обратной связи содержит ограничения в виде линейных функций. В этом случае определена линейная функция управляемого процесса, линейная целевая функция с ограничением в виде линейных неравенств, а задачу решают методами линейного программирования.
Не останавливаясь на подробном описании традиционных методов линейного программирования, отметим лишь некоторые его особенности, в т.ч. особенности применения для оптимизации управления рыболовством.
Линейные целевые функции с одной или несколькими переменными при отсутствии ограничений не имеют конечного максимума, поэтому ограничения в задачах с применением линейного программирования обязательны. Совокупность любого числа линейных ограничений выделяет в пространстве ряда переменных управления некоторый выпуклый многоугольник, который служит областью возможных значений переменных управления. Экстремум целевой функции достигается в одной из его вершин.
16.8.9. В задачах оптимального управления линейную целевую функцию выражают через управляющие переменные и задают линейные ограничения на эти переменные. Если количество переменных управления больше 2-3, то графическое решение задачи сложно и удобнее применять аналитические методы, в частности итерационную процедуру, называемую симплекс-методом.
Решение задачи с применением симплекс-метода разбивают на два этапа. На первом этапе получают какое-нибудь (хотя бы очень неудачное решение), которое удовлетворяет совокупности линейных ограничений или устанавливают, что такого решения не существует. Первый этап называют этапом отыскания начального плана. На втором этапе план улучшают, пока дальнейшее улучшение становится невозможным. В план часто входят только основные (базисные) переменные, остальные переменные называют не основными (небазисными).
Задачу оптимизации решают в следующей последовательности:
определяют начальный план, и основные переменные этого плана выражают через не основные переменные;
представляют значение минимизируемой целевой функции через не основные переменные;
выбирают не основную переменную, введение которой в план улучшает значение минимизируемой функции;
определяют, какую из основных переменных исключить из плана и сделатьосновной. Вновь вводимую в план переменную выражают через переменную, выводимую из плана, и через другие не основные переменные;
все остальные не основные переменные и значения минимизируемой функции выражают через новые не основные переменные;
повторяют операции в третьем и в трех последующих пунктах; если на каком-то этапе введение в план любой из основных переменных не уменьшает значения целевой функции, то последний план считают наилучшим.
По существу, с применением симплекс-метода выбор начального плана соответствует определению одной из вершин выпуклого многоугольника, а улучшение плана - переходу к одной из соседних вершин с меньшим значением линейного выражения. Известно, что при следовании рассмотренному плану через сравнительно небольшое число шагов приходят к оптимальному плану.
16.8.10. Рассмотрим далее несколько способов оптимизации динамических хорошо определяемых процессов.
Один из способов динамической оптимизации состоит приложении вариационных методов к процессам с обратной связью, когда целевая функция выражена в виде интеграла. Схема управления показана на рис. 16.2.
Рис. 16.2. Схема управления хорошо определяемыми динамическими процессами с обратной связью с применением вариационных методов.
Для решения уравнений оптимального управления, которые получают вне системы управления, в качестве исходных условий используют периодически измеряемые переменные состояния. Решение уравнений определяет переменные оптимального состояния и управления. Рассчитанные значения оптимального состояния сравнивают с измеряемыми переменными состояния на соответствующих интервалах времени. По полученному рассогласованию определяют целесообразность повторного решения задачи, используя в качестве начальных условий на данном интервале времени измеряемые переменные состояния.
С применением вариационных методов задачу оптимального управления в системах с обратной связью можно свести к непосредственному применению уравнения Эйлера-Лагранжа. Оно, как известно, является обыкновенным дифференциальным уравнением для определения оптимальных значений переменных управления. Уравнение Эйлера-Лагранжа используют также непосредственно в контуре управления обратной связи для корректировки переменных управления.
16.8.11. При оптимальном управлении динамическими процессами без обратной связи методами динамического программирования переменные оптимального управления находят заранее вне системы управления или в системе управления. Эти уравнения используют для программного изменения переменных управления. Соответствующие вычисления при этом выполняют только один раз для начального шага. Переменные состояния не измеряют и не используют для оптимального управления.
Во многих случаях применение уравнений динамического программирования в системе управления требует значительного объема памяти. Тогда целесообразнее использования методы динамического программирования для численного решения задачи и получения уравнений управления вне системы управления. Эти уравнения затем применяют для оптимального управления без обратной связи в системе управления. Уравнения оптимального управления обычно относительно просты, их решение не требует большого объема памяти ЭВМ и значительного времени. Однако они дают менее точные результаты, чем при использовании обратной связи из-за влияния неконтролируемых переменных и неточности моделей процесса. Схема оптимального управления без обратной связи при использовании динамического программирования показана на рис. 16.3.
Рис. 16.3. Схема управления хорошо определяемыми динамическими процессами без обратной связи с использованием динамическогопрограммирования.
16.8.12. Рассмотрим далее особенности оптимального динамического управления с обратной связью. Для оценки переменных оптимального управления при решении уравнений в качестве начальных условий используют измеряемые переменные состояния. Уравнение оптимального управления решают в системе управления, а вычисления производят в системе или вне системы управления.
Для оптимального управления хорошо определяемыми динамическими процессами в системах управления рыболовством можно применять принцип максимума. С его помощью решают задачи оптимизации для следующих видов математических моделей целевой функции и ограничений на процесс:
оптимизация непрерывной унимодальной целевой функции, когда отсутствуют ограничения на переменные управления;
оптимизация унимодальной целевой функции, когда ограничения заданы равенствами с помощью метода неопределенныхмножителей Лагранжа или в виде линейных неравенств с помощью методов линейного программирования;
оптимизация непрерывной целевой функции при ограничениях или без ограничений при помощи градиентных методов (методов эволюционной оптимизации);
оптимизация интегральных показателей (динамических целевых функций).