5.2 Типові динамічні ланки

5.2.1 Підсилювальна ланка

Підсилювальну ланку називають також статичною (безінерційною). Прикладом його може служити клапан з лінеаризованою характеристикою в системах регулювання, різні підсилювачі, передачі важелів, редуктори і так далі Ця ланка миттєва і без відхилень відтворює вхідну величину на виході.

Рівняння руху підсилювальної ланки має вигляд

(5.1)

де –коефіцієнт підсилення.

Передаточна функція підсилювальної ланки виходить в результаті перетворення по Лапласу його рівняння звідки

(5.2)

Підстановка дає вираз АФХ

(5.3)

звідки АЧХ:

(5.4)

ФЧХ

(5.5)

Графіки частотних характеристик (АЧХ, АФХ) представлені на рис. 5.1.

Частотні характеристики підсилювальної ланки не залежать від частоти, причому ФЧХ тотожно рівна нулю, тобто в гармонійних коливаннях, поданих на вхід, змінюється тільки амплітуда в kраз.

Амплітудно-фазова характеристика є додатним дійсним числом, її графік є точкою на додатній частині дійсної осі.

Часові характеристики можна отримати безпосередньо з рівняння (5.1). Якщо вхідний сигнал , то отримують рівняння перехідної функції

(5.6)

Рис. 5.1 Частотні характеристики підсилювальної ланки: а – АЧХ; б – АФХ

Рис. 5.2 Графіки часових характеристик підсилювальної ланки: а – перехідна функція; б – вагова функція

вона рівна постійній величині – коефіцієнту підсилення ланки. Якщо ж , то отримують рівняння вагової функції

(5.7)

Графіки часових характеристик зображені на рис. 5.2.

1. 5.2.2 Інтегруюча ланка

Рівняння руху інтегруючої ланки має вигляд

(5.8)

де – постійна часу ланки.

Вихідний сигнал інтегруючої ланки рівний інтегралу за часом від вхідного сигналу, помноженому на коефіцієнт .

Прикладом інтегруючої ланки є лічильники, що підсумовують витрату речовини або енергії за певний проміжок часу, рівень в ємкості і тому подібне.

Передаточнафункція інтегруючої ланки виходить в результаті перетворення по Лапласу (5.8):

(5.9)

Рис. 5.3 Частотні характеристики інтегруючої ланки: а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ

Частотні характеристики утворюються в результаті підстановки ; їх графіки зображені на рис. 5.3:

–АФХ

(5.10)

–АЧХ

(5.11)

–ФЧХ

(5.12)

Амплітудно-частотна характеристика інтегруючої ланки є гіперболічною функцією частоти, а фазочастотна не залежить від частоти і рівна . В цьому випадку АФХ є уявною функцією частоти, і її годограф для додатних частот співпадає з відємною гілкою уявної осі.

Перехідні характеристики, графіки яких зображені на рис. 5.4, визначають з рівняння руху (5.8) підстановкою вхідного сигналу і відповідно для отримання виразу:

– перехідної функції

(5.13)

– вагової функції

(5.14)

Рис. 5.4 Перехідні характеристики інтегруючої ланки: а – перехідна функція; б – вагова функція

Таким чином, при подачі на вхід інтегруючої ланки постійного незникаючого збурення вихідна координата збільшується до безкінечності з постійною швидкістю, тобто відмітною особливістю є той факт, що перехідна функція не має сталого (при ) кінцевого значення. Ця властивість є причиною принципової відмінності астатичних систем автоматичного регулювання, що містять інтегруючу ланку, від статичних систем, які не містять цієї ланки.

Реакція на -функцію є ступінчатою функцією з амплітудою .

5.2.3 ІДЕАЛЬНА ЛАНКА, ЩО ДИФЕРЕНЦІЮЄ

Рівняння ідеальної диференціюючої ланки

(5.15)

тобто зміна вихідної координати пропорційна швидкості зміни вхідної координати. У операторній формі рівняння має вигляд звідки передаточна функція

(5.16)

Частотні характеристики, графіки яких представлені на рис. 5.5:

–АФХ

(5.17)

–АЧХ

(5.18)

–ФЧХ

(5.19)

Рис. 5.5 Частотні характеристики ідеальної диференціюючої ланки: а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ

Таким чином, АЧХ прямо пропорційна частоті, а ФЧХ не залежить від частоти і рівна .Отже, годограф АФХ при співпадає з додатною частиною уявної осі.

Перехідна функція ідеальної диференціюючої ланки має вигляд:

(5.20)

тобто є -функцією з площею, рівною .

Вагова функція є похідною від -функції:

(5.21)

У природі ідеально диференціюючих ланок не існує, оскільки при , а будь-який реальний об'єкт практично фільтрує гармонійні сигнали з частотою, більшої частоти зрізу даного об'єкту. Нездійсненність ідеальної ланки видно також і з перехідної функції, яка рівна -функціїі з вагової функції, рівної похідної -функції.

5.2.4 РЕАЛЬНА ЛАНКА ЩО ДИФЕРЕНЦІЮЄ

Зустрічаються ланки, які реагують тільки на швидкість зміни вхідного сигналу. Вони описуються рівняннями наступного вигляду і називаються реальними диференціюючими:

(5.22)

Прикладом такої ланки єRC-ланцюг (рис. 5.6).

Рис. 5.6 RC-ланцюг

Рис. 5.7 Частотні характеристики реальної диференціюючої ланки: а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ

Передаточнафункція має вигляд:

(5.22)

Частотні характеристики, графіки яких представлені на рис. 5.7:

– АФХ

(5.23)

– АЧХ

(5.24)

–ФЧХ

(5.25)

У реальної диференціюючої ланки при збільшенні частоти амплітудно-частотна характеристика зростає, але її верхня межа обмежена величиною .

Фазо-частотна характеристика при збільшенні частоти зменшується від до нуля. Для додатних частот є півколом діаметром з центром в точці . Для доказу запишемо у прямокутних координатах

Набуті значення і підставимо в рівняння кола радіусу з центром в точці ;

або

Розкриваючи дужки, отримуємо тотожність, яка і доводить, що АФХ дійсно є півколом.

Використовуючи взаємозв'язок динамічних характеристик, отримуємо рівняння перехідної функції в операторній формі по (3.39):

Застосувавши зворотне перетворення Лапласа до останнього виразу, отримуємо рівняння перехідної функції в часовій області:

(5.26)

Вагова функція знаходиться як похідна від перехідної функції

(5.27)

Графіки перехідних характеристик зображені на рис. 5.8.

На рис. 5.8, а для порівняння показані перехідні функції ідеальної1 і реальної2 диференціюючих ланок. Через інерцію реальних ланок зміна вихідної координати – перехідної функції відбувається поступово, а не стрибком, як у разі ідеальної ланки. Для того, щоб наблизити властивості реальної ланки до властивостей ідеальної, необхідно одночасно збільшувати коефіцієнти передачі і зменшувати постійну часу так, щоб їх добуток залишалося постійним.

Рис. 5.8 Перехідні характеристики реальної диференціюючої ланки: а – перехідна функція; б – вагова функція

5.2.5 ЛАНКА ЩО ФОРСУЄ

Форсуючою ланкою називається ланка, що описується рівнянням

(5.28)

Така ланка може бути отримана в результаті паралельного з'єднання підсилювальної і ідеальної диференціюючої ланок. Вона характеризується двома параметрами: коефіцієнтом передачі і постійною часу .

Передаточна функція

(5.29)

Заміна в (5.28) дозволяє отримати частотні характеристики форсуючої ланки, графіки яких показані на рис. 5.9:

– АФХ

(5.30)

–АЧХ

(5.31)

–ФЧХ

(5.32)

Рис. 5.9 Частотні характеристики форсуючої ланки: а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ

Як видно з графіків, амплітудно-фазова характеристика є прямою, паралельною уявній осі і перетинаюча дійсну вісь в точці .

Перехідні характеристики отримують безпосередньо з рівняння (5.28):

– перехідна функція – вхідний сигнал , а вихідний сигнал

(5.33)

– вагова функція – вхідний сигнал , а вихідний сигнал

(5.34)

Графічно зобразити можливо тільки перехідну функцію.