5.2.6 Ланка чистого запізнювання

Прикладом ланки чистого запізнювання є транспортер.

Якщо за вхідну координату прийняти витрату матеріалу на початку транспортера, а за вихід – витрата матеріалу в кінці транспортера, то вихідний сигнал повторюватиме вхідний сигнал із запізнюванням рівним часу руху матеріалу від місця завантаження до місця відвантаження, причому .

Рівняння ланки чистого запізнювання

(5.35)

Передаточна функція виходить в результаті перетворення Лапласа (5.35):

(5.36)

Частотні характеристики:

– АФХ

(5.37)

– АЧХ

(5.38)

– ФЧХ

(5.39)

Графіки частотних характеристик зображені на рис. 5.10.

Риc. 5.10Частотні характеристики ланки чистого запізнювання: а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ

Оскільки , а відставання по фазі вихідних коливань прямо пропорційно частоті з коефіцієнтом пропорційності рівним часу чистого запізнювання, то годографом АФХ є коло одиничного радіусу з центром на початку координат.

Перехідні характеристики виходять підстановкою відповідних вхідних сигналів в рівняння ланки (5.35):

– перехідна функція

(5.40)

– вагова функція

(5.41)

Графіки перехідних характеристики зображені на рис. 5.11.

Рис. 5.11Перехідні характеристики ланки чистого запізнювання: а – перехідна функція; б – вагова функція

5.2.7 Аперіодична ланка першого порядку

Аперіодична ланка першого порядку називається також інерційною. Вона описується диференціальним рівнянням першого порядку і має не коливальний характер перехідного процесу.

Прикладом таких ланок може служити будь-який електричний ланцюг, що включає опір і ємкість, теплові об'єкти.

Лінійне диференціальне рівняння має вигляд

(5.42)

де – постійна часу ланки; – коефіцієнт підсилення, .

Постійна часу характеризує інерційність ланки і залежить від величин маси або опору і ємкості – чим більше маса, опір і ємкість, тим більше інерційність ланки і більше .

Передаточнуфункцію отримують з рівняння (5.42)

(5.43)

Частотні характеристики, графіки яких представлені на рис. 5.12:

– АФХ

(5.44)

– АФХ

(5.45)

–ФЧХ

(5.46)

Амплітудно-частотна характеристика аперіодичної ланки першого порядку на нульовій частоті дорівнює коефіцієнту підсилення із збільшенням частоти вона монотонно зменшується, асимптотично прагнучи до нуля.

Рис. 5.12Частотні характеристики аперіодичної ланки першого порядку: а – АЧХ; б – ФЧХ; в – АФХ

Фазочастотна характеристика при збільшенні частоти від 0 до змінюється від 0 до . Отже, годограф АФХ для цілком лежить в четвертому квадранті і є півколом діаметром з центром в точці , яка описується рівнянням

.

(5.47)

Доказ останньої тотожності аналогічний доказу подібного виразу для реальної диференціюючої ланки. Значення дійсної і уявної частин АФХ замінюються їх конкретними виразами

і підставляються в (5.47).

Рівняння перехідної функції отримують як вирішення рівняння при або в операторній формі

Переходячи до оригіналу, отримують вираз перехідній функції в часовій області

(5.48)

Вагову функцію можна отримати як похідну від перехідної функції

Рис. 5.13Перехідні характеристики аперіодичної ланки першого порядку: а – перехідна функція; б – вагова функція

(5.49)

Графіки перехідних характеристик зображені на рис. 5.13.

Як видно з графіків, перехідними характеристиками є монотонні функції часу, по ним можна визначити такі параметри, як коефіцієнт підсилення, рівний постійному значенню ; постійну часу, рівну інтервалу часу від точки дотику перехідної функції до точки перетину дотичної з її асимптотою (рис. 5.13, а).