12.3.3 Побудова функції Ляпунова методом д. Шульца
Згідно цьому методу функція Ляпунова записується у вигляді
де
-
градієнт
функції Ляпунова, тобто
для системи рівнянь n-го порядку, який записується у вигляді
(12.39)
Похідна за часом від функції Ляпунова буде
де
-транспонірований
стовпець
,
тобто
У такій постановці завдання про вибір функції Ляпунова визначенню підлягають коефіцієнти аij, при цьому приймається умова, що aij = aji= const. Для визначення коефіцієнтів записується умова виконання нерівності dV/dt < 0, з якого складається система рівнянь, що вирішується відносно
Після визначення коефіцієнтів записується конкретне значення функції Ляпунова і проводиться перевірка умов V(y1, у2, ..., уn) > 0, за наслідками якої робиться висновок про стійкість даної системи автоматичного управління.
12.3.4 Побудова функції Ляпунова методом Лур’є – Постникова
Згідно цьому методу функція Ляпунова для системи квазілінійних рівнянь, тобто рівнянь, що містять лінійну частину і аддитивно вхідну нелінійність, записується у вигляді:
де V1(у1, у2, ..., уn) - функція Ляпунова для лінійної частини, яка, як правило, пишеться у вигляді квадратичної форми;
f(у) - нелінійність, що має місце в системі.
Аналіз стійкості зводиться до конкретного запису функції Ляпунова і її похідної з подальшою перевіркою їх знаків і застосуванням теореми про стійкість.
Функція Ляпунова у вигляді (12.41) вже була використана в 12.2.2.4 при розгляді загальної методики застосування теореми Ляпунова.
12.4 Приклади побудови функцій Ляпунова
Приклад 12.2 Хай нелінійна система автоматичного управління описується нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку
Дослідити цю систему на стійкість другим методом Ляпунова, використовуючи при побудові функції Ляпунова метод Г. Сеге.
Початкове нелінійне диференціальне рівняння другого порядку слід привести до системи диференціальних рівнянь першого порядку
Згідно методу Г. Сеге функція Ляпунова має вигляд
Похідна від неї з урахуванням системи диференціальних рівнянь
Утворюємо функцію
з похідній dV/dt по ступенях у2, порівнюючи вирази dV/dt і ψ(у), отримаємо
;
Для отримання стійкості у всій області (у1,у2) необхідно, щоб коефіцієнти А1 = А2 = 0, що приводить до системи диференціальних рівнянь відносно а11(у1) і а12(у1):
Вирішення першого рівняння, тобто а11(у1) шукається у вигляді
Підставив це рішення в рівняння, отримаємо
Прирівнявши коефіцієнти при однакових ступенях у1, визначимо значення коефіцієнтів α = ½, β = 1.
Вирішенням другого рівняння є а12(у1) = γ, γ = 1.
Підставимо знайдені значення а11 і а12 у функцію Ляпунова і її похідну
видно, що dV/dt < 0 при будь-яких значеннях у1. А це і вказує на стійкість даної системи автоматичного управління по Ляпунову.
Приклад 12.3 Дослідити стійкість нелінійної системи, динаміка якої описується системою рівнянь
використовуючи другий метод Ляпунова і форму Д. Шульца при побудові функції Ляпунова.
Відповідно до методу Д. Шульца градієнт функції Ляпунова представляється у вигляді
Похідна від функції Ляпунова
або відповідно до початкової системи
*
Допустимо α12 = α21= 0, тоді
Якщо
,
то dV/dt < 0.
Це можливо, якщо
Відповідно до останнього виразу градієнт функції Ляпунова і її похідна запишуться у вигляді
Згідно формулі (12.38) отримаємо функцію Ляпунова
Прийнявши
= 6, запишемо
Якщо добуток F(y1)y1 = X знаходиться в першому і третьому квадрантах, то функція Ляпунова позитивно визначена, а її похідна негативно визначена, тобто V> 0, dV/dt < 0, але це і вказує на стійкість даної системи.
Приклад 12.4 Знайти умову стійкості нелінійної системи автоматичного регулювання, яка описується системою рівнянь
за допомогою другого методу Ляпунова.
Функція Ляпунова записується відповідно до методу Лур’є - Постникова у вигляді
похідна від цієї функції
де d = αb + 1/2c.
Умова негативної визначеності dV/dt записується у вигляді β > 0,
Для того, щоб остання нерівність мала позитивне рішення α >0, необхідно і достатньо виконання нерівності αβ >bc, яка забезпечує позитивність обох коренів рівняння.
Таким чином, якщо αβ >bc, то дана система автоматичного регулювання стійка.