7.3 Запас стійкості і його оцінка

Синтез стійких систем, що знаходяться поблизу від межі стійкості і не мають необхідного запасу стійкості, не задовольняє жодну реальну систему, оскільки будь-яка зміна змінних, навіть незначна, може вивести систему із стійкого режиму. У зв'язку з цим необхідно кількісно оцінити запас стійкості. Для цього зазвичай використовуються кореневі і частотні методи оцінки запасу стійкості.

7.3.1 Кореневі методи оцінки запасу стійкості

Як відомо, межею стійкості в площині коренів характеристичного рівняння є уявна вісь. Чим ближче корені характеристичного рівняння розташовуються до уявної осі, тим ближче система знаходиться до межі стійкості. Отже, оцінити запас стійкості можна по розташуванню коренів характеристичного рівняння. Такою оцінкою є ступінь стійкості η, яка визначається відстанню до уявної осі найближчого кореня (рис. 7.5, а).

Якщо запас стійкості буде задана через показник ,то система повинна мати ступінь стійкості більшу або рівну заданій η> , і область розташування коренів знаходитиметься зліва від прямої η = (рис. 7.5, а).

Іншим показником цієї групи є ступінь коливальностіт - модуль мінімального відношення дійсної і уявної частин кореня sjхарактеристичного рівняння в порівнянні з іншими коренями (рис. 7.5. б):

(7.8)

Рис. 7.5 Кореневі показники оцінки запасу стійкості:

а - ступінь стійкості; б - ступінь коливальності;

в - одночасне використання ступеня стійкості і ступеня коливальності.

З геометричної точки зору ступінь коливальності є тангенсом кута між променями ОА або ОВ, проведеними через початок координат і найбільш віддалені корені, і уявною віссю, тобто tgφ = т або φ = arctgm. Корені, що знаходяться на цих променях, розташовані таким чином, що решта всіх коренів лежить зліва від них (у секторі AОВ).

Для забезпечення запасу стійкості необхідно, щоб ступінь коливальності в системі була більшою або рівною заданій т > , а область заданого запасу стійкості в цьому випадку визначиться сектором AOB(рис. 7.5, б).

У ряді випадків для оцінки запасу стійкості можна використовувати одночасно обидва розглянуті показники - ступінь стійкості і ступінь коливальності. В цьому випадку область забезпечення заданого запасу стійкості визначається областю ABCD(рис. 7.5, в).

7.3.2 Частотні методи оцінки запасу стійкості

Серед частотних методів оцінки запасу стійкості, перш за все, виділяються методи, пов'язані з амплитудно-фазовою характеристикою розімкнутої системи. Це запас стійкості по модулю і запас стійкості по фазі.

Запас стійкості по модулювизначається як довжина відрізка d, рівного відстані від точки перетину АФХ розімкнутої системи з негативною дійсною піввісю до точки (-1. ) (рис. 7.6, а).

Рис. 7.6 Частотні методи:

а - запас стійкості по модулю; б - запас стійкості по фазі

Чисельно запас стійкості по модулю показує, на скільки повинен змінитися модуль АФХ розімкнутої системи, щоб система вийшла на межу стійкості.

Запас стійкості по фазі- це кут γ, який лежить між дійсною негативною піввісю і променем, що проведений з початку координат в точку перетину АФХ з одиничним колом з центром на початку координат (рис. 7.6, б).

Чисельно запас стійкості по фазі показує, на скільки повинне збільшитися відставання по фазі в розімкнутій системі при незмінному модулі АФХ, щоб система вийшла на межу стійкості. Як правило, ці показники використовують разом.

Для працездатності системи потрібний, щоб запаси стійкості по модулю і фазі були не менше деяких заданих величин: d> ; γ > .

Одним з основних частотних методів оцінки запасу стійкості є показник коливальності, який як би об'єднує запас стійкості по модулю і запас стійкості по фазі. Виявляється, що ступінь близькості замкнутої системи до межі стійкості можна визначити по величині максимуму амплітудно-частотної характеристики розімкнутої системи. Цей максимум і називається показником коливальності М, якщо М(0)= 1 (рис. 7.7).

Чим більше максимум має АЧХ замкнутої системи, тим ближче АФХ розімкнутої системи до точки (-1, ) і, отже, тим менше запас стійкості має система, як по модулю, так і по фазі. Як відомо, АФХ замкнутої системи визначається через АФХ розімкнутої системи таким чином

Рис. 7.7 АЧХ замкнутої системи

звідки АЧХ замкнутої системи, відповідно, рівна

Аналіз АФХ розімкнутої системи показує, що, як видно з рис. 7.8, її модуль рівний довжині відрізка ОВ, тобто

Вектор

визначається як різниця векторів ОА і ОВ, тобто

Отже,

Рис.7.8 Визначення поканика коливальності

Якщозмінюватичастоту від 0 до , то відношення ОВ/АВ спочатку зростає, а потім починає зменшуватися, отже, і АЧХ замкнутої системи спочатку буде зростатиме, а потім зменшуватися, тобто матиме максимум. Для того, щоб цей максимум мав задану величину, а, отже, був заданий показник коливальності, необхідно, щоб геометрично на площині АФХ розімкнутої системи відношення відрізків ОВ і АВ мало постійну величину (рис. 7.8):

Якщо показник коливальності заданий, то заданий запас стійкості (максимум АЧХ замкнутої системи не повинен перевищувати деякої заздалегідь заданої величини), що виражається геометрично в завданні на площині АФХ розімкнутої системи кола радіусом

з центром на негативній дійсній піввісі на відстані

яку не повинна перетинати амплитудно-фазова характеристика розімкнутої системи.