6.7.1 Критерій стійкості рауса

Критерій, який запропонував Раус, найпростіше пояснюється табл. 6.1, де

(6.27)

характеристичний поліном.

У першому рядку записуються в порядку зростання індексів коефіцієнти характеристичного рівняння, що мають парний індекс, в другому– непарний індекс.

Будь-який інший коефіцієнт таблиці визначається як

(6.28)

де ;k – номер стовбця; i – номер рядка.

Число рядків таблиці Раусу рівне ступеню характеристичного полінома плюс одиниця – (n + 1). Після заповнення таблиці можна зробити висновок про стійкість системи згідно умови стійкості Раусу.

Для того, щоб система автоматичного управління була стійка, необхідно і достатньо, щоб коефіцієнти першого стовпця таблиці Раусу мали один і той же знак, тобто при були додатними числа:

(6.29)

Якщо не всі коефіцієнти першого стовбця додатні, то система нестійка, а число правих коренів рівне числу змін знаку в першому стовбці таблиці Раусу.

Цей критерій дуже зручний, коли задані чисельні значення коефіцієнтів характеристичного рівняння, дуже легкий для програмування на ЕОМ і знайшов широке застосування при дослідженні впливу на стійкість коефіцієнтів рівняння або окремих параметрів системи.

6.7.2 Критерій стійкості гурвіця

Гурвіц розробив алгебраїчний критерій стійкості у формі детермінантів, що складається з коефіцієнтів характеристичного рівняння системи.

З коефіцієнтів характеристичного рівняння (6.27) будують спочатку головнийдетермінант Гурвіця (6.30)

(6.30)

за наступним правилом: по головній діагоналі детермінанта зліва направо виписують всі коефіцієнти характеристичного рівняння від a₁ до a_nв порядку зростання індексів. Стовбці вгору від головної діагоналі доповнюють коефіцієнтами характеристичного рівняння з послідовно зростаючими індексами, а стовбці вниз – коефіцієнтами з послідовно убуваючими індексами. На місце коефіцієнтів з індексами більше n і менше нуля проставляють нулі.

Відкреслюючи в головному визначнику Гурвіця діагональний мінор, отримаємо детермінанти Гурвіця нижчого порядку.

(6.31)

Номер детермінанта визначається номером коефіцієнта по діагоналі. Сам критерій формулюється таким чином.

Для того, щоб система автоматичного управління була стійка, необхідно і достатньо, щоб всі детермінанти Гурвіця мали знаки, однакові із знаком першого коефіцієнта характеристичного рівняння тобто при

(6.32)

Якщо розкрити детермінанти Гурвіця для рівнянь першого, другого і третього порядку, то вийдуть наступні умови стійкості:

1) умови стійкості:

2) умови стійкості:

3) умови стійкості:

Критерій Гурвіця зазвичай застосовують при

Оскільки то при для перевірки стійкості необхідно перевірити детермінанти від до

Якщо або при то система знаходиться на межі стійкості, причому при – межа аперіодичної стійкості (один з коренів рівний нулю); при – межа коливальної стійкості (є два комплексно-зв'язані корені).

По цьому критерію можна визначити критичне значення параметра, при якому система знаходиться на межі стійкості.