Інтегральний квадратичний критерій
(8.9)
є
найбільш поширеним критерієм якості і
є площею під кривій
(рис. 8.7, в).
Як
видно з (8.9), різні по величині ординати
перехідного процесу входять в критерій
з різною вагою, що приводить до того, що
початкова ділянка перехідного процесу
набуває найбільшого значення, чим його
"хвіст", який практично не впливає
на квадратичний критерій. Прагнучи
мінімізувати (8.9), фактично мінімізують
найбільші відхилення регульованої
величини, тому мінімальні значення
критерію завжди відповідають коливальним
процесам з малим згасанням. З метою
усунення цього недоліку застосовують
покращувану квадратичну оцінку:
(8.10)
яка, окрім самих відхилень, враховує з ваговим коефіцієнтом їх похідну. Ваговий коефіцієнт вибирається рівним бажаному часу наростання або застосовується в межах
(8.11 )
де Тр - бажана тривалість перехідного процесу.
Квадратичний критерій, як і лінійний, можна обчислити без побудови перехідного процесу по частотній характеристиці замкнутої системи і перетворенню по Фурье від вхідного сигналу.
Використовуючи формулу Релея, отримують:
На закінчення слід зазначити, що абсолютні значення будь-якої інтегральної оцінки самі по собі не представляють інтересу. Вони служать для зіставлення різних варіантів настройки однієї і тієї ж системи, а також для визначення параметрів настройки системи.
8.2 Частотні методи аналізу якості регулювання
В інженерній практиці широко використовуються частотні методи дослідження систем управління. Зокрема, група методів, яка розроблена В. В. Солодовниковим, дозволяє оцінити якість регулювання по дійсним частотних характеристиках, побудувати перехідні процеси, а також синтезувати корегуючі пристрої.
8.2.1 Залежність між перехідною і частотними характеристиками
Для оцінки якості регулювання необхідно встановити зв’язок між перехідною і частотними характеристиками. У частотній області перехідна характеристика записується через перетворення Фурьє:
(8.12,а)
і через АФХ системи і зображення вхідної змінної по Фурье, з іншого боку
(8.12,б)
Використовуючи зворотне перетворення Фурьє і останні співвідношення, перехідний процес (перехідна характеристика) визначається таким чином:
(8.13)
При дії на вході одиничної ступінчастої функції x(t)= 1(t), зображення якої
співвідношення (8.13) для перехідної характеристики запишеться як
Представляючи
АФХ через дійсну і уявну частину W(iω)
= Re(ω)
+ iIm(ω)
і
розкладаючи
по
формулі Ейлера, вираз для перехідної
характеристики
перетвориться до зручнішого вигляду з
використанням ДЧX-
Re(ω):
(8.14)
Або УЧХ -Im(ω):
(8.15)
На практиці використовується формула (8.14), в якій ДЧХ є складною функцією і її інтегрування можливе тільки приблизно: чисельними методами із застосуванням ЕОМ або шляхом попередньої апроксимації складної характеристики Re(ω) кусочно-лінійними функціями, сумою трапецій або сумою трикутників, що дозволяє отримати достатньо зручні вирази.
Якщо на систему діє довільне збурення, то перехідний процес визначається по узагальнених дійсній і уявній характеристиках:
(8.16)
при
цьому необхідно, щоб полюсы функції
розташовувалися
зліва від уявної осі.